floyd算法求最短路

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 \(k\) 个询问，每个询问包含两个整数 \(x\) 和 \(y\)，表示查询从点 \(x\) 到点 \(y\) 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n,m,k\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(x,y,z\)，表示存在一条从点 \(x\) 到点 \(y\) 的有向边，边长为 \(z\)。

接下来 \(k\) 行，每行包含两个整数 \(x,y\)，表示询问点 \(x\) 到点 \(y\) 的最短距离。

输出格式

共 \(k\) 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围

\(1 \le n \le 200\),
\(1 \le k \le n^2\)
\(1 \le m \le 20000\),
图中涉及边长绝对值均不超过 \(10000\)。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

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分析

弗洛伊德（Floyd）算法是一种用于解决图中所有节点对之间最短路径的经典算法，也称为全源最短路径算法。与迪杰斯特拉算法不同，弗洛伊德算法可以处理边权重为负值的情况。该算法通过动态规划的思想，逐步更新节点之间的最短路径距离。

以下是弗洛伊德算法的基本原理：

初始化：创建一个距离矩阵，其中矩阵中的元素表示节点之间的直接距离。如果两节点之间有直接边相连，则距离矩阵中对应位置的值为边的权重，否则为一个较大的值（表示不可达）。同时，对角线上的元素设为0，表示每个节点到自身的距离为0。

通过遍历每个中间节点：对于每个节点k，遍历所有节点i和节点j，尝试通过节点k来更新节点i到节点j的最短路径距离。具体做法是比较从节点i经过节点k到节点j的距离与节点i直接到节点j的距离，如果前者更小，则更新距离矩阵中的节点i到节点j的值。

重复步骤2，直到遍历完所有的中间节点。每次更新后，距离矩阵中的值逐步代表了节点之间的最短路径距离。

最终得到的距离矩阵即为所有节点对之间的最短路径距离。

弗洛伊德算法通过不断地遍历所有节点对和中间节点，逐步更新最短路径距离矩阵，从而获得所有节点对之间的最短路径。算法的时间复杂度为 O(V^3)，其中 V 为节点数。虽然算法效率相对较低，但它的优点是可以处理包括负权边在内的各种情况，同时可以一次性计算出所有节点对之间的最短路径，适用于稀疏图和稠密图。

代码实现

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, Q;
int d[N][N];

void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c);
    }

    floyd();

    while (Q -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);

        int t = d[a][b];
        if (t > INF / 2) puts("impossible");
        else printf("%d\n", t);
    }

    return 0;
}

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//来源：AcWing