搜索—Power Calculus

Description

从 x 开始，通过反复乘以 x，我们可以使用 30 次乘法来计算 x³¹：
x² = x × x, x³ = x² × x, x⁴ = x³ × x, …, x³¹ = x³⁰ × x.
平方操作可以显著缩短乘法序列。以下是使用八次乘法来计算 x³¹ 的一种方法：
x² = x × x, x³ = x² × x, x⁶ = x³ × x³, x⁷ = x⁶ × x, x¹⁴ = x⁷ × x⁷, x¹⁵ = x¹⁴ × x, x³⁰ = x¹⁵ × x¹⁵, x³¹ = x³⁰ × x.
这不是计算 x³¹ 最短乘法序列。有许多只需要七次乘法的方法。以下是其中一种：
x² = x × x, x⁴ = x² × x², x⁸ = x⁴ × x⁴, x⁸ = x⁴ × x⁴, x¹⁰ = x⁸ × x², x²⁰ = x¹⁰ × x¹⁰, x³⁰ = x²⁰ × x¹⁰, x³¹ = x³⁰ × x.
如果除法也可用，我们可以找到一种更短的操作序列。可以使用六次操作（五次乘法和一次除法）来计算 x³¹：
x² = x × x, x⁴ = x² × x², x⁸ = x⁴ × x⁴, x¹⁶ = x⁸ × x⁸, x³² = x¹⁶ × x¹⁶, x³¹ = x³² ÷ x.
如果除法和乘法一样快，这是计算 x³¹ 最有效的方法之一。
你的任务是编写一个程序，为给定的正整数 n，通过乘法和除法从 x 开始计算 xⁿ 所需的最少操作次数。序列中出现的乘积和商应为 x 的某个正整数次幂。换句话说，不应出现 x−3 等。

Input

输入是一个包含一个或多个整数 n 的序列。n 为正且小于等于 1000。输入以零结束。

Output

你的程序应打印出从 x 开始计算整数 n 的 xⁿ 所需的最少总乘法和除法次数。每个数字应写在单独的一行中，不应包含任何多余的字符，如前导或尾随空格。

Sample Input

1
31
70
91
473
512
811
953
0

Sample Output

0
6
8
9
11
9
13
12

More Info

分析

对于题目中的乘除操作，我们只需要考虑指数的加减，对结果进行搜索，将搜索一颗巨大的多叉树，所以这里我们采用IDA*算法进行优化搜索，每次搜索固定的深度，利用最直接的方法倍增，看能否在固定深度内够到xⁿ，不能则剪枝，把这一判断作为评估函数。

代码实现

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N = 100;                 //最大层次
int num[N];                        //记录一条路径上的数字，num[i]是路径上第i层的数字
int n, depth;
bool dfs(int now, int d) {         //now:当前路径走到的数字，d：now所在的深度
if (d > depth) return false;   //当前深度大于层数限制
    if (now == n)  return true;    //找到目标。注意：这一句不能放在上一句前面，因为输出的是层数，放到上面会少一层
if (now << (depth - d) < n)    //剪枝：剩下的层数用最乐观的倍增也不能达到n
return false;
num[d] = now;                  //记录这条路径上第d层的数字
for(int i = 0; i <= d; i++) {      //遍历之前算过的数，继续下一层
if (dfs(now + num[i], d + 1))      return true;  //加
else if (dfs(now - num[i], d + 1)) return true;  //减
}
return false;
}
int main() {
while(~scanf("%d", &n) && n) {
for(depth = 0;; depth++) {         //IDDFS：每次限制最大搜索depth层
memset(num, 0, sizeof(num));
if (dfs(1, 0))    break;       //从数字1开始，当前层0
	   }
	   printf("%d\n", depth);
}
return 0;
}