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[USACO05DEC] Scales S

题目描述

约翰有一架用来称牛的体重的天平。与之配套的是 $ N \ ( 1 \leq N \leq 1000 ) $ 个已知质量的砝码（所有砝码质量的数值都在 \(32\) 位带符号整数范围内）。

每次称牛时，他都把某头奶牛安置在天平的某一边，然后往天平另一边加砝码，直到天平平衡，于是此时砝码的总质量就是牛的质量（约翰不能把砝码放到奶牛的那边，因为奶牛不喜欢称体重，每当约翰把砝码放到她的蹄子底下，她就会尝试把砝码踢到约翰脸上）。

天平能承受的物体的质量不是无限的，当天平某一边物体的质量大于 $ C \ ( 1 \leq C \leq 2^{30} ) $ 时，天平就会被损坏。砝码按照它们质量的大小被排成一行。并且，这一行中从第 \(3\) 个砝码开始，每个砝码的质量至少等于前面两个砝码（也就是质量比它小的砝码中质量最大的两个）的质量的和。

约翰想知道，用他所拥有的这些砝码以及这架天平，能称出的质量最大是多少。由于天平的最大承重能力为 \(C\)，他不能把所有砝码都放到天平上。

现在约翰告诉你每个砝码的质量，以及天平能承受的最大质量，你的任务是选出一些砝码，使它们的质量和在不压坏天平的前提下是所有组合中最大的。

输入格式

第 \(1\) 行输入两个用空格隔开的正整数 $ N $ 和 $ C $。

第 \(2\) 到 $ N+1 $ 行：每一行仅包含一个正整数，即某个砝码的质量。保证这些砝码的质量是一个不下降序列。

输出格式

输出一个正整数，表示用所给的砝码能称出的不压坏天平的最大质量。

样例 #1

样例输入 #1

3 15
1
10
20

样例输出 #1

11

分析

这道题，就是求砝码最大所能称重的质量。先仔细观察题目发现，砝码的质量其实是大于等于对应的斐波那契数。那这样的话 n 的最大数量一定是小于50。一开始很直接的会想到，从大往小加砝码所过所加质量大于c那么就跳过这个砝码去加下一个。但很明显这是错误的，很简单，比如一个固定大小的烧杯，和一堆大小不同密度相同的石头，不管是从小往大放石头还是从大往小放石头，都不能保证石头间的间隙最小。加上 n 较小所以我们直接进行搜索。搜索我们同样选择最大的砝码开始因为这样能减少比较多的搜索次数

代码实现^beta

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, c;
int a[50];
int cur = 0;
int ans = 0;
void dfs(int u) {
    if (u == 0) return;

    for (int i = u; i >= 1; i--) {
        if (cur + a[i] < c) {
            cur += a[i];
            dfs(i - 1);
            ans = max(ans, cur);
            cur -= a[i];
        }
        
    }
}
int main() {
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    dfs(n);
    cout << ans;
    return 0;
}

然后愉快的超时了
但是大方向还是对滴，接下来就是优化了。
first_try

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, c;
int a[50];
int cur = 0;
int ans = 0;
bool shouldStop = false;  // 标志变量

void dfs(int u) {
    if (u == 0 || shouldStop) return;

    for (int i = u; i >= 1; i--) {
        if (cur + a[i] < c) {
            cur += a[i];
            dfs(i - 1);
            ans = max(ans, cur);
            cur -= a[i];
        }
        if (cur + a[i] == c) {
            ans = c;
            shouldStop = true;  // 设置标志变量为 true，跳出所有递归
            return;//不得不说，这样结束所有递归好像时不错的
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    dfs(n);
    cout << ans;
    return 0;
}

额，貌似没怎么优化。

second_try
我们发现，砝码是从小到大开始放，但我们似乎并没有利用这一优势，我们知道砝码是类似斐波那契数列的，如果 n 越大，两个相邻的砝码质量相差也就越大，所以可以进行一次剪枝：如果当前放置砝码质量与前面所有的砝码质量相加，仍然小于c，就直接加。也就是还要再来个前戳和。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;//c11 支持等同于tyepdef long long ll; 
int n, c;
int a[50];
ll sum[50];
int cur = 0;
int ans = 0;
void dfs(int u) {
    if (u == 0) return;
    if(sum[u] + cur <= c)
    	{
    		
    		int temp = sum[u] + cur;
    		ans = max(ans,temp);//这里不需要cur+=a[u],因为直接return了
    		return;
    	}
    for (int i = u; i >= 1; i--) {
        if (cur + a[i] <= c) {
            cur += a[i];
            dfs(i - 1);
            ans = max(ans, cur);
            cur -= a[i];//这种递归其实不需要一层一层的去观察，就把他们看成最后的两层会simple很多。
        }

    }
}
int main() {
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
        	cin >> a[i];
        	sum[i] = sum[i-1] + a[i];
        }
    dfs(n);
    cout << ans;
    return 0;
}

愉快的ac了，