汉诺塔（蓝桥杯）最简单易懂详细版

直达原题

Description

汉诺塔是一个古老的数学问题：
　　有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：每次只能移动一个圆盘；大盘不能叠在小盘上面。
　　提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须遵循上述两条规则。
问：如何移？最少要移动多少次？

Input

一行，包含2个正整数，一个是N（N<=15)，表示要移动的盘子数；一个是M，表示在最少移动d第M步

Output

共2行。
　　第一行输出格式为：#No: a->b，表示第M步骤具体移动方法，其中No表示第M步移动的盘子的编号（N个盘子从上到下依次编号为1到n），表示第M步是将No号盘子从a杆移动到b杆（a和b的取值均为{A、B、C}）。
　　第2行输出一个整数，表示最少移动步数。

Sample Input

3 2

Sample Output

# 2: A->B
7

More Info

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

分析

汉诺塔的经典做法就是分治法，具体操作就是递归，为什么说是分治法？首先我们需要先明白汉诺塔3层以内的做法，假设柱子是A、B、C；A是起始柱，C是终点柱，按照1、2到n的顺序从上到下命名圆盘。一层的汉诺塔，就是把1从A->C。二层的汉诺塔，先把1移到B，再把2移到C，再把1移到C。对于三层，我们可以这样想：按照前两个的做法，最先进入C柱的一定是最大的盘，所以能把最大的盘从A移动到C做底，就需要前两个盘都在B柱上，现在我们假设已经成功将1，2移动到B，3移动到C，因为C有了最大的盘，所以就不用动C上的3了，此时我们想象3与C融为一体，那么现状就是A上没有盘，B上有两个，那么这时我们把B作为起始柱，C依旧是终点柱，这样就与二层的汉诺塔问题一样了，别忘了我们的前两个盘在B柱上是假设的，实际怎么处理呢，那很简单了，B作为终点柱，一样的移动就完成了。如果是4层的还是如此操作，此时我们总结一下n层的汉诺塔：首先我们需要第n个盘移动到C上，此时B就是n-1个盘的终点柱，这就是n-1层的汉诺塔问题，然后我们需要把B上的n-1层移动到C上，C作为终点柱，这还是n-1层汉诺塔问题，如此递归操作，时间复杂度也是显而易见的为O(2ⁿ),最后回到了我们最初的问题：为什么说是分治法，就是把问题分成了两个子问题：
1.把A上n-1个盘移到B，第n个移到C
2.把B上的n-1个移到C

代码实现

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans=0,n,m;
void hanota(int n,char pos1,char pos2,char pos3)
{
	if(n==1)
	{
		ans++;if(ans==m)cout<<"#"<<n<<":"<<pos1<<"->"<<pos3<<endl;
	}
	else
	{
		hanota(n-1,pos1,pos3,pos2);
		ans++;if(ans==m)cout<<"#"<<n<<":"<<pos1<<"->"<<pos3<<endl;
		hanota(n-1,pos2,pos1,pos3);//或许你会好奇，为什么这句代码下面就不需要ans++了，注意hanota(n-1,pos1,pos3,pos2);里面包含直接从A->C的移动过程所以ans++。这句代码里面只有递归到n==1才ans++
	}

}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	hanota(n,'A','B','C');
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}