实数三分—三分求极值、Line belt
三分求极值
题目是hihocode第1142道题，貌似现在已经无法注册了，我尝试了多次均已失败告终。
废话不多说，直接上题目
Problem Description
在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d。
Input
第1行：5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数，后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200
Output
第1行：1个实数d，保留3位小数(四舍五入)
Sample Input
2 8 2 -2 6
Sample Output
2.437
分析：
看到求最短距离，忽然回想起熟悉的两点间距离公式：d=sqrt((X-x)^2 + (Y-y)^2)
所以只要求得最小d，就求出答案。因为需要输入x,y 所以我们对公式化简，很容易发现，公式化简后类似一个二次函数，所以把求最短距离问题——>求凸函数极值问题，于是乎开始实数三分法，代码如下。
代码实现
# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cmath>
using namespace std;
double a,b,c,X,Y;
double possible( double x )
{
double y = a*x*x+b*x+c;
double res = hypot(X-x,Y-y);
return res;
}
int main(void)
{
cin>>a>>b>>c>>X>>Y;
double l = -233.0;
double r = 233.0;
while ( abs(r-l) > 1e-8 )
{
double m1 = l+(r-l)/3;
double m2 = r-(r-l)/3;
if ( possible(m1) < possible(m2) )
{
r = m2;
}
else
{
l = m1;
}
}
printf("%.3lf\n",(possible(l)+(possible(r)))/2);
return 0;
}
注：代码第9行hypot() 函数是 cmath 头文件的库函数，用于求给定数字的斜边，它接受两个数字并返回斜边的计算结果，即sqrt(xx + yy)。
Line Belt
Problem Description
In a two-dimensional plane there are two line belts, there are two segments AB and CD, lxhgww's speed on AB is P and on CD is Q, he can move with the speed R on other area on the plane.
How long must he take to travel from A to D?
大意:
平面上有两条轨道，AB和CD，轨道上可以坐车，从A到B的速度是P，而从C到D的速度是Q，不在AB或CD上就只有步行了，速度是R。现在问从A到D的最短时间
Input
The first line is the case number T.
For each case, there are three lines.
The first line, four integers, the coordinates of A and B: Ax Ay Bx By.
The second line , four integers, the coordinates of C and D:Cx Cy Dx Dy.
The third line, three integers, P Q R.
0<= Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy<=1000
1<=P，Q，R<=10
Output
The minimum time to travel from A to D, round to two decimals.
Sample Input
1
0 0 0 100
100 0 100 100
2 2 1
Sample Output
136.60
Limit
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
分析：
如图所示画的好潦草，所以这道题的的做法是显而易见的就是，在AB处取一点E，CD处取一点F，让TAE+TEF+TFD取得最小,这时候发动我们的单核草履虫的大脑，如果让A直接到D可能距离最短，但是万一速度比较慢，也会使得总时间不是最短，所以需要一段AE和一段FD去分担一部分时间，但是AE与FD的距离又不能太长，长了也会使总时间加大的，所以这时我们分析E点取值，假设F点的取值已经确定，那么TAE+TEF应该随着AE在AB所占比的增大而先减小后增大，所以存在一个最小值点，属于单谷函数同理对于点F，也假设E点已知，TFD+TEF也是单谷函数，单谷函数求极值——三分法，这里有两个三分又互相影响，所以就是一个三分嵌套问题，代码实现如下：
代码实现
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define EPS 1e-6
struct Point {
double x;
double y;
};
Point a, b, c, d, e, f;
double p, q, r;
double dis(Point p1, Point p2) {
return sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y) );
}
double ae_cost(double alpha) {//alpha是某点在某线段内所占的比例
e.x = a.x + (b.x - a.x) * alpha;
e.y = a.y + (b.y - a.y) * alpha;
return dis(a, e) / p+dis(e, f) / r;
}
double all_cost(double alpha) {
f.x = c.x + (d.x - c.x) * alpha;
f.y = c.y + (d.y - c.y) * alpha;
double time =-1 ;
double L = 0.0, R = 1.0;
while (R - L > EPS) {
double mid = (R - L) / 3.0;
double alpha1 = L + mid, alpha2 = R - mid;
if (ae_cost(alpha1) - ae_cost(alpha2)>EPS) {
L = alpha1;
} else {
R = alpha2;
}
}
time = dis(f, d) / q ;
return ae_cost(L) + time;
}
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
cin >> a.x >> a.y >> b.x >> b.y;
cin >> c.x >> c.y >> d.x >> d.y;
cin >> p >> q >> r;
double L = 0.0, R = 1.0;
while (R - L > EPS) {
double mid = (R - L) / 3.0;
double alpha1 = L + mid, alpha2 = R - mid;
if (all_cost(alpha1) - all_cost(alpha2)>EPS) {
L = alpha1;
} else {
R = alpha2;
}
}
printf("%.2lf\n", all_cost(L));
}
return 0;
}
吐苦水🤮
这道题代码改了好久，本来写好的运行整数一点问题没有，后来提交hduoj评测怎么也过不去，然后就是自己疯狂试，终于发现如果输入坐标是小数，答案就会出错，
错误代码：
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define EPS 1e-12
struct Point {
double x;
double y;
};
Point a, b, c, d, e, f,ans;
double p, q, r;
double dis(Point p1, Point p2) {
return sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y) + 1e-9);
}
double ae_cost(double alpha) {
e.x = a.x + (b.x - a.x) * alpha;
e.y = a.y + (b.y - a.y) * alpha;
return dis(a, e) / p;
}
double all_cost(double alpha) {
f.x = c.x + (d.x - c.x) * alpha;
f.y = c.y + (d.y - c.y) * alpha;
double time = dis(f, d) / q + dis(e, f) / r;
double L = 0.0, R = 1.0;
while (R - L > EPS) {
double mid = (R - L) / 3.0;
double alpha1 = L + mid, alpha2 = R - mid;
if (ae_cost(alpha1) < ae_cost(alpha2)) {
R = alpha2;
} else {
L = alpha1;
}
ans.x=L;
}
return ae_cost(L) + time;
}
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
cin >> a.x >> a.y >> b.x >> b.y;
cin >> c.x >> c.y >> d.x >> d.y;
cin >> p >> q >> r;
double L = 0.0, R = 1.0;
while (R - L > EPS) {
double mid = (R - L) / 3.0;
double alpha1 = L + mid, alpha2 = R - mid;
if (all_cost(alpha1) < all_cost(alpha2)) {
R = alpha2;
} else {
L = alpha1;
}
ans.y=L;
}
printf("%.2lf\n", all_cost(L));
cout<<ans.x<<" "<<ans.y;
}
return 0;
}
可以看到，这里分成AE和EF+FD两部分了，这样形成的一个错误就是TAE是单增的随着E的增大，不适用三分法，而且这样求出来的E就是A点了，Tall就是一个根据错误的局部答案推断的综合错误答案，该答案Tall=TAF+TFD，只对这一部分进行三分，ok现在问题迎刃而解，至于为什么输入整数不会错，那是因为输入的不具普遍性正中错误的点😄
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