最长递增子序列

定义

代码实现

动态规划实现（dp）

点击查看代码

class Solution {
	public int lengthOfLIS(int[] nums) {
		int len = 0;
		// dp的定义是，0-i位置最长递增子序列的长度
		int[] dp = new int[nums.length];
		for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
			// 自己的长度，1
			dp[i] = 1;
			// 遍历之前的所有数，找到一个比自己小的数j，加上0-j的最长子序列。
			for(int j = 0; j < i; j++) {
				if(nums[i] > nums[j]) {
					dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
				}
			}
            len = Math.max(len, dp[i]);
		}
		return len;
	}
}

记录0-i之间的严格递增的序列

为什么使用这个序列，我们从dp实现可以看到，我们第二层for循环的主要目的是找到，小于num[i]的长度记录。那么我们就可以使用二分搜索的方式找到小于num[i]的数。

那么如何生成这个数组呢？

那么假设，我们有一个数组end[]，它内部是单调递增的数组。

• 查询一个数，查一个小于等于它的数，就能得到相应的效果【第二层for循环的目的】
• 更新数呢，我们要保证严格的递增，假设我们找到小于等于它的数。那么我应该更新吗？
• • 由于我们希望得到的长度尽量长，所以，这里的单调递增数组里面的数尽量小是最好的。
    原因如下：
    【1,3,2,5,3】我们的递增数组会有几个阶段【1,3】-> 【1,2】-> 【1,2,5】-> 【1,2,3】在这个情况下，在第一阶段变成第二阶段的时候，2不替换3，那么到最后阶段的3的时候并不会进入这个数组中。
    在这里2进来的时候，找到的是1，再下标+1，替换掉3。
    而在5的时候，找到的是2，再下标+1，添加一个新的数。（这里有一个难以实现的事情，怎么判断是找到一个绝对大的数，还是一个等于的数，在最后面的数组中）
    那么，现在，我们换一种思考方式，如果找的是大于等于查找数的最小值（即最左边的值），如果找到那就直接替换，保证整体最小，如果找不到那么现在这个数最大，直接添加一个新的数。

点击查看代码

    public int bs(int[] end, int len, int target) {
        int l = 0, r = len - 1;
        int ans = -1;
        while(l <= r) {
            int m = l + ((r - l) >> 1);
            if(end[m] >= target) {
                r = m - 1;
                ans = m;
            } else {
                l = m + 1;
            }
        }
        return ans;
    }