差分

证明:$[\frac{n}{1}] + [\frac{n}{2}] + [\frac{n}{3}] + ... + [\frac{n}{n}] = \sum\limits_{i = 1}^n {f(i)}$,

其中$[x]$为取整函数,$f(i)$为$i$的约数个数.

 

想象一下一个$n\times n$的棋盘,标上坐标$(1,1)$到$(n,n)$.

如果$i$整除$j$就在$(i,j)$放一个棋子,

数一下棋子的数量,按行数和按列数分别对应等式两边.