7246. 【USACO 2021 January Contest, Gold】 Dance Mooves

Description&Data Constraint

\(1\le K\le 2\times 10^5\)。

Solution

首先建议去做一下银组的弱化版：P7299 [USACO21JAN] Dance Mooves S。

银组的做法是：

记录 \(K\)​ 次交换后每个点的位置，初末位置连边，则会形成一些环。

由于时间无限，则环上的每个点的答案是一样的，因此可以开个 \(\text{vector}\) 记录每个点走过的位置，最后开个 \(\text{set}\) 维护即可。

这两道题的区别在于金组的这道题目增加了时间的限制，这就意味着有些环是无法走完的。

先求出在时间限制下 \(K\) 次换位完整的进行了多少轮，记为 \(times\)，同时求出还剩下多少次换位 \(other\)。

按照银组的做法先将环弄出来，记录每个环上有哪些点。

对于环的大小小于等于 \(times\) 的，做法同银组，因为这些环是能够在 \(times\) 轮 \(K\)​ 次换位后，每个点至少回到原点一次，所以这个环上的答案都是一样的。（可能有点绕）

那么现在就思考那些环的大小大于 \(times\) 的。

思考在这些环上的点是怎么移动的。

对于一个点 \(i\)，它在 \(K\) 次换位后到达的点记为 \(nxt_i\)，那么这次换位中 \(i\) 所经过的点可以用个 \(\text{vector}\) 记录下来，然后对于 \(times\) 轮 \(K\)，每次就可以记录下从 \(i\) 到 \(nxt_i\) 中经过的点，然后再从 \(times\) 轮后的位置再往下走 \(other\)​ 次换位，最后统计答案就好。

但是这个方法的时间复杂度十分的高，达到了 \(\mathcal O(NK)\)。​

那么优化就可以考虑破环成链，将环复制一次，开个双指针，每次移动前删除当前 \(l\)​​ 的贡献和 \(r+1\)​​ 的剩下贡献。然后移动，加入新的 \(r\)​​ 的贡献和 \(r+1\)​​ 的剩下贡献。（注意贡献和剩下贡献是不一样的）（其实就是滑动窗口维护）。

最后把贡献挂在 \(l\) 上就可以了。

Code

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#define ll long long
#define N 200005
using namespace std;
vector<int> spot[N],rest[N],ring[N];
int n,num,a[N],b[N],pos[N],fro[N],ans[N],buck[N],len[N];
ll m,k,times,other;
bool isin[N];
void getring(int x)
{
	int now=x;
	do
	{
		isin[now]=true;
		ring[num].push_back(now);
		now=fro[now];
	}while (now!=x);
	len[num]=ring[num].size();
}
void calcring(int now)
{
	int res=0;
	if ((ll)len[now]<=times)
	{
		for (int i=0;i<len[now];++i)
		{
			int x=ring[now][i];
			for (int j=0;j<spot[x].size();++j)
			{
				int y=spot[x][j];
				if (!buck[y]++) ++res;
			}
		}
		for (int i=0;i<len[now];++i)
			ans[ring[now][i]]=res;
		for (int i=0;i<len[now];++i)
		{
			int x=ring[now][i];
			for (int j=0;j<spot[x].size();++j)
			{
				int y=spot[x][j];
				buck[y]=0;
			}
		}
		return;
	}
	for (int i=0;i<len[now];++i)
		ring[now].push_back(ring[now][i]);
	for (int i=0;i<times;++i)
	{
		int x=ring[now][i];
		for (int j=0;j<spot[x].size();++j)
		{
			int y=spot[x][j];
			if (!buck[y]++) ++res;
		}
	}
	for (int i=0;i<rest[ring[now][times]].size();++i)
	{
		int x=rest[ring[now][times]][i]; 
		if (!buck[x]) ++res;
		++buck[x];
	}
	ans[ring[now][0]]=res;
	int l=0,r=times-1;
	while (l<len[now]-1)
	{
		int x=ring[now][l];
		if (l<=r)
		{
			for (int i=0;i<spot[x].size();++i)
			{
				int y=spot[x][i];
				if (buck[y]==1) --res;
				--buck[y];
			}
		}
		x=ring[now][r+1];
		for (int i=0;i<rest[x].size();++i)
		{
			int y=rest[x][i];
			if (buck[y]==1) --res;
			--buck[y];
		}
		++l;++r;
		x=ring[now][r];
		if (l<=r)
		{
			for (int i=0;i<spot[x].size();++i)
			{
				int y=spot[x][i];
				if (!buck[y]++) ++res;
			}
		}
		x=ring[now][r+1];
		for (int i=0;i<rest[x].size();++i)
		{
			int y=rest[x][i];
			if (!buck[y]++) ++res;
		}
		ans[ring[now][l]]=res;
	}
	for (int i=l;i<=r;++i)
	{
		int x=ring[now][i];
		for (int j=0;j<spot[x].size();++j)
			buck[spot[x][j]]=0;
	}
	for (int i=0;i<rest[ring[now][r+1]].size();++i)
	{
		int x=rest[ring[now][r+1]][i];
		buck[x]=0;
	}
	memset(buck,0,sizeof(buck));
}
int main()
{
	scanf("%d%lld%lld",&n,&k,&m);
	times=m/k;other=m%k;
	for (int i=1;i<=k;++i)
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		spot[i].push_back(i),rest[i].push_back(i),pos[i]=i;
	for (int i=1;i<=k;++i)
	{
		spot[pos[a[i]]].push_back(b[i]);
		spot[pos[b[i]]].push_back(a[i]);
		if (i<=other)
		{
			rest[pos[a[i]]].push_back(b[i]);
			rest[pos[b[i]]].push_back(a[i]);
		}
		swap(pos[a[i]],pos[b[i]]);
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		fro[pos[i]]=i;
		if (spot[i].size()!=1)	spot[i].pop_back();
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (!isin[i]) ++num,getring(i);
	for (int i=1;i<=num;++i)
		calcring(i);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}