教学之Treap
放在前面的话
本蒟蒻因为最近的题目总是搞点奇奇怪怪的平衡树，就去学了下\(Treap\)
现在来总结一下
由于本人是个蒟蒻，本文可能有部分错误，麻烦各位读者大佬在评论区提醒
什么是\(Treap\)
\(Treap\)取自两个单词，一是\(tree\)，一是\(heap\)
也就是说，\(Treap\)结合了二叉搜索树和堆
\(Treap\)维持平衡的方法
方法就是
随 机 数！！！
不要不信，真的是随机数
对于每个点，\(Treap\)给予它们一个随机数
并要求在满足二叉搜索树的基础上，随机数要形成一个大（小）根堆
接下来将给出一道模板题，\(Treap\)的操作将在模板题的讲解中给出
例题讲解
放例题
讲解
数组
\(size[i]\)表示以\(i\)为根的子树的大小
\(num[i]\)表示值为\(i\)的个数
\(val[i]\)表示节点\(i\)的值
\(son[i][0/1]\)表示\(i\)的左/右儿子
\(rd[i]\)表示节点\(i\)的随机值
这些数组在接下来会多次提及，各位读者大佬可以稍稍记忆一下
操作
统计(\(pushup\))
重新统计以\(i\)为根的子树的大小
当前大小：左儿子的大小+右儿子的大小+当前这个数的个数
void pushup(int p)
{
size[p]=size[son[p][0]]+size[son[p][1]]+num[p];
}
旋转(\(rot\))！！！
\(Treap\)的核心操作
分为左旋和右旋，但是思路一样，故一起介绍
旋转的目的是将一个子节点移到父亲处，在过程中满足二叉搜索树的性质
以右旋为例
一开始是这样的
现在我们要将\(B\)转到\(A\)那里
怎么搞呢？？？
根据二叉搜索树的性质我们知道
\(B<A\)
那么可以把\(A\)丢给\(B\)当右儿子
但是\(B\)已经有了右儿子\(y\)了
再想，根据二叉搜索树有\(B<y<A\)
那么\(y\)就可以丢给\(A\)当左儿子
然后\(B\)的左儿子和\(A\)的右儿子不变
旋转完了之后
检查一下大小关系
旋转前：\(x<B<y<A<z\)
旋转后：\(x<B<y<A<z\)
一模一样
具体操作呢
上代码
void rot(int &p,int d)
{
int k=son[p][d^1];
son[p][d^1]=son[k][d];
son[k][d]=p;
pushup(p);
pushup(k);
p=k;
}
\(d\)为0是左旋，为1右旋
以\(d=1\)为例（右旋）
a
/ \
b z
/ \
x y
\(k\)为\(p\)的左儿子
先把\(k\)的右儿子丢给\(p\)当左儿子：
son[p][d^1]=son[k][d];
现在长这样
a(p)
/ \
b(k) y z
/
x
再把\(p\)丢给\(k\)当右儿子
son[k][d]=p;
变成了这样
b(k)
/ \
x a(p)
/ \
y z
再\(pushup(p和k)\)
最后\(p=k\)
结束
那么我们就可以用旋转来维护堆了
插入(\(ins\))
要插入一个数\(x\)
可以一直判断\(x\)与当前节点的大小关系，选择往哪边递归
直到找到一棵空子树就把\(x\)放进去
放进去之后看一下\(rd\)值的大小，有不对的就旋转
插入后重新统计大小
void ins(int &p,int x)
{
if (!p)
{
sum++;
p=sum;
size[p]=num[p]=1;
val[p]=x;
rd[p]=rand();
return;
}
if (val[p]==x)
{
num[p]++;
size[p]++;
return;
}
int d=(x>val[p]);
ins(son[p][d],x);
if (rd[p]<rd[son[p][d]]) rot(p,d^1);
pushup(p);
}
删除(\(del\))
跟插入差不多
\(x<val[p]\)往左边走
\(x>val[p]\)往右边走
有点不同的是在\(x=val[p]\)的时候
分4种情况讨论
- 无左儿子和右儿子
- 无左儿子
- 无右儿子
- 有左儿子和右儿子
情况1：删自己
情况2：左旋，往左边走
情况3：右旋，往右边走
情况4：看哪边的\(rd\)值大，就旋转哪边，往那边走
删除完之后重新统计一下大小
void del(int &p,int x)
{
if (!p) return;
if (x<val[p]) del(son[p][0],x);
else if (x>val[p]) del(son[p][1],x);
else
{
if (!son[p][0]&&!son[p][1])
{
num[p]--;
size[p]--;
if (!num[p]) p=0;
}
else if (!son[p][1])
{
rot(p,1);
del(son[p][1],x);
}
else if (!son[p][0])
{
rot(p,0);
del(son[p][0],x);
}
else
{
int d=(rd[son[p][0]]>rd[son[p][1]]);
rot(p,d);
del(son[p][d],x);
}
}
pushup(p);
}
查询排名(\(get\_rank\))
如果没有这个数，返回0
如果\(val[p]=x\)，输出左儿子的大小+1
如果\(val[p]>x\)，往左儿子走
如果\(val[p]<x\)，往右儿子走，并输出左儿子的大小+\(num[x]\)+\(x\)在右儿子中的排名
int get_rank(int p,int x)
{
if (!p) return 0;
if (val[p]==x) return (size[son[p][0]]+1);
if (val[p]<x) return (size[son[p][0]]+num[p]+get_rank(son[p][1],x));
if (val[p]>x) return get_rank(son[p][0],x);
}
查询值(\(get\_sum\))
如果\(size[son[p][0]>x\) 往左边走
如果\(size[son[p][0]+num[p]<x\) 往右边走，在右边查找排名\(x-size[son[p][0]-num[p]\)的数
若都不满足，返回\(val[p]\)
int get_sum(int p,int x)
{
if (!p) return 0;
if (size[son[p][0]]>=x) return get_sum(son[p][0],x);
else if (size[son[p][0]]+num[p]<x) return get_sum(son[p][1],x-size[son[p][0]]-num[p]);
else return val[p];
}
查询前驱(\(get\_pre\))
如果当前\(p\)为0返回\(-∞\)（一定要特别小）
如果\(val[p]>=x\)，即在左儿子中，那就往左边走
否则的话返回当前值和右儿子中的前驱里大的那个（所以为什么要特别小）
int get_pre(int p,int x)
{
if (!p) return -inf;
if (val[p]>=x) return get_pre(son[p][0],x);
else return max(val[p],get_pre(son[p][1],x));
}
查询后继(\(get\_suc\))
跟查询前驱类似
只不过为0的时候返回\(∞\)，因为后面是\(min\)
左儿子和右儿子换一下就可以
int get_suc(int p,int x)
{
if (!p) return inf;
if (val[p]<=x) return get_suc(son[p][1],x);
else return min(val[p],get_suc(son[p][0],x));
}
到此所有的操作都已讲解完毕
Code——总
#include<cstdio>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#define inf 2147483647
using namespace std;
int n,pd,x,s,sum,size[100005],son[100005][3],val[100005],num[1000005],rd[100005];
void pushup(int p)
{
size[p]=size[son[p][0]]+size[son[p][1]]+num[p];
}
void rot(int &p,int d)
{
int k=son[p][d^1];
son[p][d^1]=son[k][d];
son[k][d]=p;
pushup(p);
pushup(k);
p=k;
}
void ins(int &p,int x)
{
if (!p)
{
sum++;
p=sum;
size[p]=num[p]=1;
val[p]=x;
rd[p]=rand();
return;
}
if (val[p]==x)
{
num[p]++;
size[p]++;
return;
}
int d=(x>val[p]);
ins(son[p][d],x);
if (rd[p]<rd[son[p][d]]) rot(p,d^1);
pushup(p);
}
void del(int &p,int x)
{
if (!p) return;
if (x<val[p]) del(son[p][0],x);
else if (x>val[p]) del(son[p][1],x);
else
{
if (!son[p][0]&&!son[p][1])
{
num[p]--;
size[p]--;
if (!num[p]) p=0;
}
else if (!son[p][1])
{
rot(p,1);
del(son[p][1],x);
}
else if (!son[p][0])
{
rot(p,0);
del(son[p][0],x);
}
else
{
int d=(rd[son[p][0]]>rd[son[p][1]]);
rot(p,d);
del(son[p][d],x);
}
}
pushup(p);
}
int get_rank(int p,int x)
{
if (!p) return 0;
if (val[p]==x) return (size[son[p][0]]+1);
if (val[p]<x) return (size[son[p][0]]+num[p]+get_rank(son[p][1],x));
if (val[p]>x) return get_rank(son[p][0],x);
}
int get_sum(int p,int x)
{
if (!p) return 0;
if (size[son[p][0]]>=x) return get_sum(son[p][0],x);
else if (size[son[p][0]]+num[p]<x) return get_sum(son[p][1],x-size[son[p][0]]-num[p]);
else return val[p];
}
int get_pre(int p,int x)
{
if (!p) return -inf;
if (val[p]>=x) return get_pre(son[p][0],x);
else return max(val[p],get_pre(son[p][1],x));
}
int get_suc(int p,int x)
{
if (!p) return inf;
if (val[p]<=x) return get_suc(son[p][1],x);
else return min(val[p],get_suc(son[p][0],x));
}
int main()
{
freopen("104.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
while (n--)
{
scanf("%d%d",&pd,&x);
if (pd==1) ins(s,x);
if (pd==2) del(s,x);
if (pd==3) printf("%d\n",get_rank(s,x));
if (pd==4) printf("%d\n",get_sum(s,x));
if (pd==5) printf("%d\n",get_pre(s,x));
if (pd==6) printf("%d\n",get_suc(s,x));
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号