P12028 [USACO25OPEN] Moo Decomposition G 题解

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前言

涉及知识：阶乘、逆元、组合数。

思路

拿到这道题，相信数学比较好的人已经有想法了——一定和组合数相关。

为什么呢？看下面这个例子。

MOOOO...OOOO//共有 n 个 O

那这个字符串分解出的子序列个数（这里请先忽略本题中每个子序列均需合法的这个条件）是不是就是 \(C_{n}^{k}\) 吗。

那么，对于每个M，都是与这个M后面O的个数有关的组合数吗？

不完全是。比如样例 \(1\)。第一个M后面有 \(4\) 个O，但是显然不能任取两个，因为这样的话另一个子序列就不合法了。如下。

MOomoO//小写的子序列不合法

所以我们需要倒着枚举，且必须保证每个子序列均合法。

那么哪些O可以对它之前的M有作用呢？

只需要保证从后向前的每个M的后面都有 \(k\) 个O即可。于是我们每次遇到O就让 \(cnt\) 加 \(1\)，每次遇到M就让 \(cnt\) 减 \(1\)，同时统计 \(C_{cnt}^k\)。

再想有 \(L\) 个串 \(S\) 拼在一起。先说结论：每个串都可以独立求贡献，每个串 \(S\) 对前后两个串不会产生贡献。证明如下。

如果一个串对前后的串有贡献，那么必然为 \(S=\)O......M这种类型。可是如果串 \(S\) 在开头，那么第一个字符O必然是不合法的（因为它前面没有可以与之匹配的M）。如果 \(S\) 在结尾，那么最后一个字符M必然是不合法的（因为它后面没有O）。因此，每个串必然不会对前后相邻的串有贡献。因此每个串可以单独计算。

所以只需要求一个串的方案数 \(ans\)，最终答案为 \(ans^L\)。

总结

1. 每个串单独求方案数。
2. 从后向前枚举，按照上述方式进行统计。
3. 最终答案为 \(ans^L\)。

警示后人

• 勤取模！
• 认真读题，形如每个子序列之类的字眼看仔细。
• 十年OI一场空，不开________见祖宗

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long 
#define ___ __int128
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f 
inline int Read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-48;c=getchar();}
    return x*f;
}
inline void Write(int x){
	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
	if(x>9) Write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
int k,n,m,t,ans;
int jc[N],inv[N];
//jc：阶乘，inv：逆元
string s;
int qsm(int a,int b){//快速幂板子
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int C(int n,int m){//组合数，也可以用杨辉三角实现
	if(m>n) return 0;
	return jc[n]%mod*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;
}
void init(){//求阶乘、逆元
	jc[0]=1;//别忘了赋初值
	for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;//阶乘
	inv[n]=qsm(jc[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--){//倒叙线性求逆元
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	}
}
signed main(){
	k=Read();n=Read();m=Read(); //m==L
	cin>>s;s=" "+s;//s 串下标从 1 开始
	init();//别忘了加到主函数里面
	ans=1;t=0;//t：当前可用的 O 的数量
	for(int i=n;i>=1;i--){//倒叙
		if(s[i]=='O') t++;
		else {
			ans*=C(t,k)%mod;
			ans%=mod;
			t-=k;//需要给当前 M 留下 k 个 O
		}
	}
	ans=qsm(ans,m)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0; 
}