P12949 [GCJ Farewell Round #1] ASCII Art 题解

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前言

倍增+二分

思路

• 首先第一步，我们肯定要去求第 \(n\) 个字符位于第几个循环里。

• 第二步，求第 \(n\) 个字符在这个循环里的位置。

• 不难发现，解决第一步后，第二步也就迎刃而解了。

首先第一步。
第 \(k\) 个循环里面一共有 \(26k\) 个字符。那么前 \(k\) 次循环就一共有 \(\sum_{i=1}^k 26i\) 个字母。记为 \(f(i)\)。

化简可得

\[f(i) = 26 \times \sum_{i=1}^k k \]

运用等差数列求和公式，可以进一步化简为

\[f(i) = 26 \times \frac{i \times (i+1)}{2} \]

即

\[f(i) = 13 \times i \times (i+1) \]

那么我们要求的 \(k\) 就需要满足

\[f(k-1) \leq n \leq f(k) \]

暴力计算显然会T，于是考虑倍增求出大致范围，再用二分确定具体 \(k\) 值。

第二步。

由第一步我们可以求出具体 \(k\) 值，于是第 \(k\) 次循环就有 \(26k\) 个字母。也就是说每个字母都出现 \(k\) 次且顺序出现。则第 \(k\) 次循环的起始位置就是 \(f(k-1)+1\)。假设 A 是第 \(0\) 个字母,那么第二步的答案就呼之欲出了——

\[\lfloor \frac{n-(f(k-1)+1)}{k} \rfloor \]

代码

#include<cstdio>
#include<iostream> 
using namespace std;
#define int long long 
inline int Read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=x*10+c-48;c=getchar();}
	return x*f;
}
inline void Write(int x){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	if(x>9) Write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int T,n;
int calc(int x){//计算f函数
	return 13*x*(x+1);
}
signed main(){
	T=Read();
	for(int o=1;o<=T;o++){//别忘了输出格式
		n=Read();
		int l=1,r=1,ans=0;
		while(calc(r-1)<n) l=r,r<<=1;//倍增求大体范围
		while(l<=r){//二分求具体范围
			int mid=(l+r)>>1;
			if(calc(mid)>=n) r=mid-1,ans=mid;
			else l=mid+1;
		} 
		int st=calc(ans-1)+1;//起始位置
		ans=(n-st)/ans;//最终答案
		printf("Case #%lld: ",o);
		printf("%c\n",(char)ans+'A');//别忘了强制类型转换，否则输出为数字
	}
	return 0; 
}