洛谷 CF466D Increase Sequence 蓝 题解

前言

看了题解才会的……决定自己详细写一篇保证自己学明白了！

思路

题目给我印象最深的一句话是：任意两个区间的左右端点不重合。感觉这个要求挺苛刻的，你会发现 \(a\) 数组的第 \(1\) 项和最后一项最多和 \(h\) 相差 \(1\)

这个不难理解，因为想要让第一项 \(+1\)，你的左端点必须是 \(1\)，那么以后的所有操作的左端点都不能是 \(1\) 了，自然只能操作一次，最后一项同理。

所以决定因素在于 \(a_i\) 和 \(h\) 相差多少，那么我们把 \(a_i\) 的意义变一下，如果原序列为 \(a_i\)，那么新的 \(a_i\) 表示 \(h - a_i\)（接下来的所有 \(a_i\) 表示的均为最新意义）

分析每次操作，改变的是一个区间且加的值是固定的，如果暴力修改复杂度不可承受，考虑有没有一种 \(O(1)\) 的修改方式？差分！

令 \(d_i=a_i-a_{i-1}\)，那么每次区间为 \([l,r]\) 的操作，等价于 \(d_l-1,d_{r+1}+1\)，由于端点不能重复，所以每个 \(d_i\) 至多会被减一次，那么无解情况就出来了：若存在 \(|d_i|>1\)，必然无解！（请注意，现在的操作为区间减，因为 \(a\) 数组的意义已经变了）

最终合法的状态为：\(d\) 数组全为 \(0\)，而可能的 \(d_i\) 的值也就 \(3\) 种：\(1,-1,0\)，逐个分析即可。

• 若 \(d_i\) 为 \(1\)，说明必须要有一个操作的左端点为 \(i\)，也就是说左端点数量要加一
• 若 \(d_i\) 为 \(-1\)，说明必须要有一个操作的右端点为 \(i\)，那么这个右端点可以和之前的任何一个左端点匹配，完毕后左端点数量要减一，因为一个端点不能同时做两次左端点。
• 若 \(d_i\) 为 \(0\)，该怎么办？在此之前，我想先明确一下题意，题意指：一个端点不能作多次左端点，也不能作多次右端点，但是可以作一次左端点再作一次右端点。所以对于 \(0\) 的情况，要么先让它作右端点，和之前的任意一个左端点匹配，然后再作左端点，来保证 \(0-1+1=0\)；要么干脆就不动它，即不对其进行操作。请注意：这里不需要改变左端点数量，因为在第一种情况中既作右端点又作左端点就抵消了，第二种情况下无事发生……

Code

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2010;
const LL mod = 1e9 + 7;

int n, h, num;
int a[N], diff[N];
LL ans = 1;

int main()
{
	cin >> n >> h;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		cin >> a[i];
		a[i] = h - a[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n + 1; i ++ )
	{
		diff[i] = a[i] - a[i - 1];
		if (abs(diff[i]) > 1) return cout << 0 << endl, 0;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		if (diff[i] == 1) num ++ ;
		if (diff[i] == 0) ans = ans * (num + 1) % mod;
		if (diff[i] == -1) ans = ans * num % mod, num -- ;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

后记

花了好长时间才理解，完结撒花！