@[TOC](E.三棱锥之刻)

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P为正三棱锥内部的中心，PA，PD为正三棱锥外接球半径，OP为正三棱锥内切球半径

结论：已知正三棱锥的棱长为a，那么正三棱锥外接球半径为：$\frac{\sqrt{6}}{4}a$ ，正三棱锥内切球半径为：$\frac{\sqrt{6}}{12}a$

```cpp
//minn为正三棱锥内切球半径，maxx为正三棱锥外接球半径
double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4;
```

```cpp
double area;
```
本题分三种情况：

1. 当染色半径 $r ≤ \frac{\sqrt{6}}{12}a$时， 即染色球还未触及正三棱锥内壁，那么就无法染色

```cpp
if (r <= minn) area = 0;//无法染色，染色面积自然为0
```

2. 当染色半径 $r ≥ \frac{\sqrt{6}}{4}a$时， 即染色球已经包含整个正三棱锥，那么整个正三棱柱的内部都会染色

```cpp
else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱锥一个侧面三角形的面积
```

3. 当染色半径 $\frac{\sqrt{6}}{12}a ≤ r ≤ \frac{\sqrt{6}}{4}a$ 时，分为两个小情况：
(1) 当横截面积 ≤ 是三角形的内切圆 即 横截圆的半径 ≤ $\frac{\sqrt{3}}{6}a$
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此时OG为底面三角形ABC的内切圆，OG为内切圆的半径为：$d = \frac{\sqrt{3}}{6}a$ ，染色圆的半径为：r

那么染色球与其中一个底面三角形ABC形成的横截圆的半径为：$r_1 = \sqrt{(r - \frac{\sqrt{6}}{12}a)^2 - d^2}$

所以：此时底面三角形ABC染色面积为：$πr_1^2$ ，有4个面就是 $4πr_1^2$

(2) 当 正三角形的内切圆 ＜ 横截圆 ＜ 正三角形的外接圆 即 染色的面积如蓝色阴影部分：
<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210202012437242.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2MjcyMTA4,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_left" width = "500px">

这个面积分为两个部分：等腰三角形+扇形

此时的 $r_1, d, 2d$ 如图所示

3个等腰三角形面积 = $\sqrt{r_1^2-d^2} × d × 3$

扇形的弧度：$α = (2π - acos(\frac{d}{r_1} )× 2 × 3) ÷ 3$

3个扇形面积 = $\frac{α}{2π} × π × r_1^2 × 3$

```cpp
else {
if (r1 <= d) {
area = PI * r1 * r1;
} else {
double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3个等腰三角形的面积
//cos() 是已知一个角的弧度值 x，求该角的余弦值 y;而 acos() 是已知一个角的余弦值 y，求该角的弧度值 x。
//扇形面积 = ((2 * PI - 三个等腰三角形的角度) * 3 / 3) / (PI * 2) * PI * f(r1);
double area2 = ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);
area = area1 + area2;
}
}
```

**完整的AC代码：**
```cpp
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define int ll
#define PI acos(-1)
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int read()
{
int w = 1, s = 0;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch>'9') { if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar(); }
return s * w;
}
//x的平方
double f(double x) {
return x * x;
}
signed main() {
double a;//题目给的正三棱锥的棱长
double r;//题目给的染色的半径
scanf("%lf%lf", &a, &r);
// sqrt(6) * a / 12;是正三棱柱内切球的半径
// sqrt(6) * a / 4; 是正三棱柱外接球的半径
double minn = sqrt(6.0) * a / 12, maxx = sqrt(6.0) * a / 4;
/*
本题分三种情况：
Ⅰ. 当染色半径 r <= sqrt(6) * a / 12; 那么就无法染色
Ⅱ. 当染色半径 r >= sqrt(6) * a / 4; 那么整个正三棱柱的内部都会染色
Ⅲ. 当染色半径 sqrt(6) * a / 12 < r < sqrt(6) * a / 4 时分为两个小情况：
(1) 当横截面积 恰好是三角形的内切圆
(2) 当横截面积 大于正三角形的内切圆 小于正三角形的外接圆


*/
double r1 = sqrt(f(r) - f(sqrt(6.0) * a / 12));//在正三棱锥的一个侧面被染色截面圆的半径
double d = sqrt(3.0) / 6 * a;//正三角形的内切圆的半径

double area;
if (r <= minn) area = 0;
else if (r >= maxx) area = sqrt(3.0) / 4 * f(a);//正三棱锥一个侧面三角形的面积
else {
if (r1 <= d) {
area = PI * r1 * r1;
} else {
double area1 = sqrt(f(r1) - f(d)) * d * 3;//3个等腰三角形的面积
//cos() 是已知一个角的弧度值 x，求该角的余弦值 y;而 acos() 是已知一个角的余弦值 y，求该角的弧度值 x。
double area2 = 3 * ((((PI * 2) - (acos(d / r1) * 2) * 3) / 3) / (PI * 2)) * PI * f(r1);//扇形面积 = ((2 * PI - 三个等腰三角形的角度) * 3 / 3) / PI * 2 * PI * f(r1);
area = area1 + area2;
}
}
printf("%.6lf\n", area * 4);
return 0;
}
```