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南京大学 静态软件分析(static program analyzes)-- CFL-Reachability and IFDS 学习笔记

一、Feasible and Realizable Paths

IFDS是一种分析框架,在这种框架下,分析的数据流是满足CFL-Reachability这一性质的。

Infeasible Paths

实际分析时,JDK中一个方法能产生的CFG是非常复杂的。不过,并非所有的路径都会被执行到,一个很自然的想法是,只分析可能被执行的路径。
所谓Infeasible Paths,指CFG中实际执行不到的路径。静态分析不能肯定地判定路径是否可达。

虽然并非所有的路径都会被执行到。可是判断一条路径是否feasible本身是不可判定(undecidable)的。但这并不代表我们束手无策了,我们来看一个例子:

动态执行时x和y都有确定的值,而上下文不敏感的分析中,x和y的取值是不确定的,更具体的说,就是{18,30,-1}。

仔细地观察x的两个不精确的分析结果,可以发现-1这个结果在当前框架下是不可避免的:

而30这个不精确的结果则是可以避免的(比如使用我们之前介绍过的上下文敏感指针分析):

Realizable Paths

  • Realizable paths may not be executable, but unrealizable paths must not be executable.
    • 可以把executable/feasible path看作realizable path的真子集
  • Our goal is to recognize realizable paths so that we could avoid polluting analysis results along unrealizable paths.
    • 这个问题和括号匹配问题本质上是一样的。
    • 使用上下文无关文法能够很好地识别一个匹配的括号串(Balanced-Parenthesis Problem)。

 

二、CFL-Reachability

定义

  • CFL-Reachablity:在普通的CFG可达条件下,同时路径上的label拼接起来满足context-free language定义的一个word,此时该路径是CFL-Reachable的。
  • context-free language(CFL):由CFG产生的语言。
  • Context-Free Grammar (CFG):CFG是一个形式化的语法,满足上下文无关文法。

CFL-Reachablity相关例子:部分括号匹配问题(Partially Balanced-Parenthesis) 

部分括号匹配问题(Partially Balanced-Parenthesis):有 )i 右括号一定要有对应的 (i 左括号,反之有 (i 不一定要有 )i,因为在分析过程中,可能还没有分析到对应的右括号的,但此时也可能是Realizable的

我们进一步定义一个语言L(realizable),右侧黄色框中的4个字符串都是语言L的一部分。 

我们用前面的例子来进一步说明语言L(realizable),

  • 左边的绿色path,根据中间定义好的realizable语法,是满足的,所以是realizable的。
  • 右边的红色path不满足语法,是unrealizable的。

e表示一条边,括号表示方法调用的label。path上一系列的label满足我们定义好的CFL语法,则能判断它是realizable的。

 

三、Overview of IFDS(Interprocedural, Finite, Distributive, Subset Problem)

  • IFDS:把程序分析问题转化为图可达性问题。
  • IFDS(Interprocedural,Finite,Distributive,Subset Problem):
    • Interprocedural:全程序分析
    • Finite:有限域下的分析
    • Distributive:重点,决定了一个问题是不是能够用IFDS来解决。Transfer Function满足分配律:f(a  b)=f(a)  f(b)
    • Subset:集合问题(比较容易理解,很多程序分析都是集合问题)

Recall For "Path Function" and "Meet-Over-All-Paths(MOP)"

所谓”Path Function“,可以理解为按照顺序,先后应用一条path上edge/node的transfer function:

所谓”Meet-Over-All-Paths(MOP)“,即对所有的开始点start,都以bottom作为path function的输入,并在终点n处对所有的结果做meet操作。

Meet-Over-All-Realizable-Paths (MRP) 

所谓”Meet-Over-All-Realizable-Paths (MRP) “,即在前者概念的基础上限制Meet的对象为Realizable-Path 

Overview of IFDS 

IFDS概要:给定一个程序P和一个数据流分析问题Q:

  • 构造一个P的supergraph G*,根据Q定义G*上的边的流函数。
  • 通过将定义的流函数应用于关系表达(图),构造P的exploded supergraph G#(分解为子图)。
  • Q能够通过在G#上应用Tabulation算法来转化为图可达问题(通过解决MRP问题)来解决。对于程序中的一点n,如果存在一条realizable的,从<Smain, 0>到<n, d>的path,则有data fact:d∈MRPn

 

四、Supergraph and Flow Functions

Supergraph

可以理解成IFDS分析体系下的ICFG(Interprocedural Control Flow Graph,即过程间控制流图)。

在IFDS中,整个程序被一个Supergraph G*=(N*, E*)表示,G*包含所有的流图G1, G2, ... (每个函数对应一个流图)

  • 每个流图中添加了辅助的开始节点s和退出节点e
  • 每个函数调用包含调用节点Callp和返回节点Retp

G*有三种edge(图中的G*即指supergraph):

  • An intraprocedural call-to-return-site edge from Callp to Retp
  • An interprocedural call-to-start edge from Callp to sp of the called procedure
  • An interprocedural exit-to-return-site edge from ep of the called procedure to Retp

Flow Functions

我们用一个例子来分析FLow Functions,这个例子是:可能未初始化的变量的分析:分析出在程序点n处可能未被初始化的变量。

1、lambda expression

以 λ 标识一个lambda表达式:

  • 从开头到中间点间的符号代表参数列表
  • 从中间点到最后的符号代表函数体

如下例子,就代表这样一个函数调用: 

  • 函数以x作为输入参数
  • 函数返回值为x+1
  • 调用函数时传入的参数为3

2、Example of Flow Functions 

在进入main后,全局变量g和局部变量x一定是没有初始化的。 

 

随后x被初始化:

 

以x来初始化a,a是否被初始化与x一致。 

 

如果a和g都被初始化了,则a是被初始化的,否则认为a没有被初始化。 

 

注意左侧以红色标记的函数,这样写能够使得在Retp处g是否已经被赋值/初始化取决于是否在被调用函数中被赋值。

这里涉及一个特殊的情况,由于离开了函数,所以要去除函数内部变量a。

 

  

五、Exploded Supergraph and Tabulation Algorithm

Build Exploded Supergraph

  • 通过将定义的流函数应用于关系表达(图),构造P的exploded supergraph G#(分解为子图);
  • 每个流函数可以表示为有2(D+1)个节点(上面D+1个,下面也是D+1个),最多(D+1)^2条边的图(上面乘下面,二分图),D表示dataflow facts元素个数(如待分析的变量个数)。上半部分表示输入,下半部分表示输出边代表某个状态的输入是否会影响另一个状态的输出

构造子图时遵循如下3种规则:

  1. 0 → 0;无条件地在图中加一条0到0的边
  2. 0 → d1,y inf(Ø);对于一个没有输入但有输出的转化函数,加上相应的边(0到xxx)
  3. d1 → d2 对于一个既有输入也有输出的函数,加上相应的边

举一个例子,

理解时,枚举上、下半图的每对节点,考虑输入这些值时对于对应的输出满足哪些规则(比如考虑a初始化和a未初始化),并连上相应的边。特别地,如果输入对输出没有影响,则判断为f(Ø),被0连接的下部图节点会取消其他上部图节点的连接(相当于为f(Ø))。

  • 第一个转化函数,输入什么输出什么,所以直接连上对应的即可。
  • 第二个转化函数,需要注意lambda虽然有“输入”S,但S可以为空,并且输入空也返回a的状态,所以只满足规则1、2。
  • 第三个转化函数,会无条件传递b的状态,所以0除了连0还连接了b;输入b的初始化状态,不影响a、b、c的初始化结果;此外,输入c的状态就输出c的状态,所以c连c。
  • 第四个转化函数,如果输入包含a,则输出一定包含b;否则一定不包含b

为什么一定要0节点:0节点代表了空输入,如果没有0节点,有空输入但有输出的情况就不能通过exploded supergraph表示出来,造成漏报。0 → 0又称为Glue Edge(胶水边)

加上这条总是存在的Glue Edge之后,就可以满足IFDS分析的要求。

构造完成所有的边的子图后,我们将一条路径上的所有子图按顺序连接起来,即可通过可达性来判断某个变量是否被初始化了。

构造子图的实例

最后构造出来的Exploded Supergraph是这样的: 

怎样使用这样的分析结果呢?我们来考虑一个问题,全局变量g在程序片段运行结束时,是否可能没有被初始化? 

根据子图分析,g在这里可能没有被初始化。 

realizable path在这里也能提供更高的精度。

Tabulation Algorithm

用Tabulation算法,可以在O(ED3)复杂度(E为Edge的数量,D为Data facts的数量,如在下面的例子中,D为3)下得到MRP的结果: 

 

六、Understanding the Distributivity of IFDS

能够使用IFDS的条件

转化函数(流函数)是否满足分配律(F(x ^ y)=F(x) ^ F(y))决定了是否能使用IFDS来解决这个问题。

  • IFDS框架一次只能表示1个变量,即只能表示“如果x。。。,那么xxx”;无法表示“如果x和y都。。。,那么xxx”这种关系。例如,对于常量传播问题,遇到z=x+y的情况,不能表示x和y同时都是常量的情况,所以IFDS无法处理。
  • 换句话说,IFDS的流函数种,每一个data fact(状态)都是相互独立的,输出不能依赖于多个输入。

上图最后的问题答案是可以使用IFDS,因为只需要考虑单一的输入即可决定输出 

另外,IFDS无法处理指针分析:

注意图中的虚线部分,由于没有别名(alias)信息,这个边是无法被IFDS框架分析出来的。而IFDS是无法处理别名信息的,因为别名信息的另一种意义是“x和y指向同一个对象”——这需要我们同时考虑x和y来决定他们是否指向同一个对象。 

 

posted @ 2022-06-21 11:17  郑瀚  阅读(976)  评论(0编辑  收藏  举报