Codeforces round 1043 Div 3 A-C

A-Homework:

分别建立两个字符串维护两个人的操作，弗拉德的操作得到的字符串 \(b\) 经过反转与迪马的字符串 \(a\)
结合就得到了最终的结果。

B-The Secret Number：

假设在 \(x\) 的后面加入了 \(k\) 个零，那么 \(n = x + y = x \cdot (10^k + 1)\) 由于 \(n\) 最多不超过long long上限，
所以枚举能够整除 \(n\) 的 \((10^k + 1)\) ，最后进行排序即可.

C-The Cunning Seller(Easy/Hard)

题目大意：

现在对于一个整数 \(x\) ，可以花 \(3^{x + 1} + x\cdot 3^{x - 1}\) 的价格买下 \(3^x\) 个西瓜。
现在你需要买 \(n\) 个西瓜，输出在交易次数尽可能小的情况下，所需的最小金币。

困难版的条件则是给出 \(k\) 次交易的限制，给出在限制下的最少花费，无法达到则输出-1。

解法(easy)：

在解决问题时，我们要知道几个事实：

购买两个以上的 \(3^x\) 是没意义的，因为等同于 \(3^{x + 1}\) 且可以节省次数。
购买 \(3^{\left \lfloor log_3\ n \right \rfloor }\) 以上的西瓜是没有意义的。

如果你购买了超出限制的西瓜，这是无意义的。

因此，对于可以选的所有单次购买数量，我们从0至2次中挑选并分配，即满足：

\[\sum_{k = 0}^{\lfloor \log_3 n \rfloor} 3^k \cdot w_k = n \]

可以得出，这个是 \(n\) 的三进制表达形式，由于具有唯一性，所以只需求出对应的 \(w_k\) 即可算出成本为：

\[\sum_{k=0}^{\lfloor \log_3 n \rfloor} (3^{k+1} + k \cdot 3^{k-1}) \cdot w_k \]

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
long long c = 3,cnt = 1;
long long cost[24];
int main() {
    for (int i = 0; i < 21; ++i) {
        cost[i] = c;
        c = 3 * c + cnt;
        cnt *= 3;
    }
    cin >> t;
    while (t--) {
        long long n;
        cin >> n;
        long long min_k = 0;
        long long min_cost = 0;
        int sz = 0;
        while (n) {
            min_k += n % 3;
            min_cost += (n % 3) * cost[sz];
            n /= 3;
            sz++;
        }
        cout << min_cost << '\n';
    }
    return 0;
}

解法(困难):

显然，购买 \(3 * 3^x\) 比 \(3^{x + 1}\) 所需的成本更少，且随着 \(x\) 的增长，购买 \(3^{x + 1}\) 所损失的钱越多。这点可以证明确定:

假设 \(a\) 是购买 \(3^{x + 1}\) 所需的钱，则结果为 \(3^{x + 2} + (x + 1)\cdot 3^x\) ,再假设 \(b\) 为购买 \(3\cdot 3^x\) 所需的费用，
则结果为 \(3 \cdot (3^{x+1}+x \cdot 3^{x-1})\) 。我们得到 \(a - b\) , 得到 \(3^x\) 。显然， \(3^x > 0\) 。而且随着 \(x\) 的增加，差异也会增加。

现在我们分两步来解决这个问题：

我们将找到购买 \(n\) 西瓜所需的最小交易数。该问题在简单版本已经解决，如果它大于 \(k\) , 我们将输出 \(-1\) 。
根据上述提到的结论。我们将选择最大的交易，并尽可能将其分解为 3 个较小的交易。