乘法逆元讲解(p为质数）

本人数学不怎么好，有问题请指出qwq.

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定义：

如果存在三个数 \(a,b,p\) 满足 \(a \cdot b \equiv 1(mod\ p)\).那么我们称 \(b\) 为 \(a\) 的乘法逆元，记作 \(a^{-1}\)

注意！这里的 \(a{-1}\) 是指 \(a\ mod\ p\) 的乘法逆元，不是 \(\frac{1}{a}\)啊!

那么，定义有了，有该如何求呢？

乘法逆元求解：

由于比较主流的方法很多，加上我很菜qwq,所以就讲一下费马小定理求法.

众所周知，费马小定理的定义是:

\[\forall p\in P,a\in N,p \nmid a\Longrightarrow a^{p-1} \equiv 1(mod\ p) \]

可是，这根乘法逆元有什么关系呢？

\(a^{p - 1}\) 是不是可以写成 \(a \cdot a^{p-2}\)?

由于乘法逆元的形式是写成 \(a \cdot b\) 的形式，所以我们是不是可以认为 \(a\) 是 \(a\),\(b\) 是 \(a^{p - 2}\)?

至此，乘法逆元就求出来了。

注意！费马小定理中要求 p 为质数，所以如果 p 不为质数的话，就得要用扩展欧几里德算法了.

那么，如果 \(p\) 很大的话，又该如何求 \(a^{p - 2}\) 呢？很简单，用快速幂就好。

贴上代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long //宏定义，省打 long long 的时间
using namespace std;
ll a,p;//默认当前p是质数
ll pow_c(ll a,ll b,ll p){
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = (res * a) % p;//利用同余定理，防止计算炸
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;//相当于 b / 2，效率更快 
    }
    return res;
}
int main(){
    cin >> a  >> p;
    cout<<a * pow_c(a,p - 2,p);
    return 0;
}

谢谢观看！