GBDT原理小结

前言

在Adaboost算法原理小结中，我们对adaboost的原理做了简单介绍，本文对Boosting家族另外一个重要的算法梯度提升树（Gradient Boosting Decision Tree，以下简称GBDT）做总结。

1.GBDT概述

GBDT也是集成学习Boosting家族的一员，但是却和传统的Adaboost算法由很大的不同，回顾Adaboost，我们利用的是上一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练数据集的权重没这样一轮一轮迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器仅限在CART回归树模型，同时迭代思路也和Boosting有所不同。

在GBDT迭代中，假设我们上一轮得到的强学习器是 
f_{t-1}(x)，损失函数是 L(y,f_{t-1}(X)),我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树

模型的学习器 h_t(x),让本轮的损失函数 L(y,f_t(X)) = L(y,f_{t-1}(X))最小，也就是说，本轮迭代找到的决策树莫要让样本的损失尽量更小。

2.GBDT的负梯度拟合

在上面，我们讲到GBDT的基本思路，但是没有解决损失函数拟合的方法，针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度作为本轮损失的近似值，进而去拟合一个CART回归树，所以第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为：

r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}

利用(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m),我们可以拟合一颗CART回归树，得到第t棵回归树，其对应的叶节点区域R_{ij},j = 1,2,3,...,J。其中J

为叶子节点的个数。

针对每个叶子节点里的样本，我们要求使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的输出值c_ij,如下：

c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)

于是我们得到本轮决策树的拟合函数：

h_t(x) = \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})

从而本轮最终得到的强学习器的表达式为：

f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})

通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合误差的方法，这样无论是分类还是回归问题，我们都可以通过负梯度来拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。

3.GBDT回归算法

讲了上面的GDBDT负梯度拟合，现在来讲一下GBDT的回归算法，为什么不顺便讲GBDT的分类算法呢？因为分类算法输出的不是连续值(是不连续的类别值)，需要做一些处理才可以使用负梯度。将在下一节讲到。

输入训练集样本是T= \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)\},最大迭代次数为T，损失函数L，输出是强学习器f(x)

1)初始化弱学习器

f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)

2)对于迭代次数t = 1,2,3,...,T,有：

a)对样本i = 1,2,3,...,m 计算负梯度

r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}

b)利用(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m), 拟合一颗CART回归树，得到第t棵回归树，其对应的叶节点区域R_{ij},j = 1,2,3,...,J。其中J

为叶子节点的个数。

c)计算叶子区域j = 1,2,3,...,J 计算最佳拟合值

c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)

d)更新学习器

f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})

3)得到强学习器f(x)的表达式：

f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})

4.GBDT分类算法

现在再来看看GBDT分类算法，GBDT分类算法与回归算法没有本质的区别，主要是因为分类算法输出的是一系列离散的类别值，无法从其中利用负梯度直接拟合输出类别的误差。

为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是使用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法；另外一种方法是用类似逻辑回归的对数似然损失函数方法，也就是说，我们用类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。在这里仅讨论对数似然损失函数的GBDT分类，而对于对数似然，我们又有二分类与多分类。

4.1 二元GBDT分类算法

对于二元GBDT，如果使用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：

L(y,f(x)) = log(1 + exp(-yf(x)))

其中，y \in\{-1, +1\}.则此时的负梯度误差为：
r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))

对于生成的决策树，我们各个叶子结点的最佳负梯度拟合值为：

c_{ij} = \underbrace{arg\;min}_{c}\sum\limits_{x_i\in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值来替代

c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg /  \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)

除了负梯度计算和叶子结点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

4.2多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一点，对应的是多元逻辑回归与二元逻辑回归的复杂度差别，假设类别数是K，则此时我们的对数似然损失函数为：

L(y, f(x)) = -  \sum\limits_{k=1}^{K}y_klog\;p_k(x)

如果输出类别为k，则y_k = 1,第k类的概率p_k(x)的表达式为：
p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K} exp(f_l(x))

集合上两式，我们可以计算出第t轮的第i个样本对应类别l的负梯度误差为

r_{til} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f_k(x) = f_{l, t-1}\;\; (x)} = y_{il} - p_{l, t-1}(x_i)

观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本i对应类别l的真实概率和t-1轮预测概率的差值。

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为

c_{tjl} = \underbrace{arg\; min}_{c_{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K} L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tjl}))

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替

c_{tjl} =  \frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}

除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

5. GBDT常用损失函数

这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。

对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

a) 如果是指数损失函数，则损失函数表达式为

L(y, f(x)) = exp(-yf(x))

其负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合参见Adaboost原理篇。

b) 如果是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见4.1节和4.2节。

对于回归算法，常用损失函数有如下4种:

a)均方差，这个是最常见的回归损失函数了

L(y, f(x)) =(y-f(x))^2

b)绝对损失，这个损失函数也很常见

L(y, f(x)) =|y-f(x)|

对应负梯度误差为：

sign(y_i-f(x_i))

c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：

L(y, f(x))= \begin{cases} \frac{1}{2}(y-f(x))^2& {|y-f(x)| \leq \delta}\\ \delta(|y-f(x)| - \frac{\delta}{2})& {|y-f(x)| > \delta} \end{cases}

对应的负梯度误差为：

r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} y_i-f(x_i)& {|y_i-f(x_i)| \leq \delta}\\ \delta sign(y_i-f(x_i))& {|y_i-f(x_i)| > \delta} \end{cases}

d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为

L(y, f(x)) =\sum\limits_{y \geq f(x)}\theta|y - f(x)| + \sum\limits_{y < f(x)}(1-\theta)|y - f(x)|

其中θ为分位数，需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为：

r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} \theta& { y_i \geq f(x_i)}\\ \theta - 1 & {y_i < f(x_i) } \end{cases}

对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。

6. GBDT的正则化

和Adaboost一样，我们也需要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种是和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为\nu,对于前面的弱学习器的迭代

f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + h_k(x)

如果我们加上了正则化项，则有

f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + \nu h_k(x)

\nu的取值范围为0 < \nu \leq 1。对于同样的训练集学习效果，较小的\nu意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭

代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

第二种正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。

使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。

第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过，这里就不重复了。

7. GBDT小结

　　　　GBDT终于讲完了，GDBT本身并不复杂，不过要吃透的话需要对集成学习的原理，决策树原理和各种损失函树有一定的了解。由于GBDT的卓越性能，只要是研究机器学习都应该掌握这个算法，包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。当然scikit-learn也可以。

最后总结下GBDT的优缺点。

GBDT主要的优点有：

1. 可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。

2. 在相对少的调参时间情况下，预测的准确率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。

3. 使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

GBDT的主要缺点有：

1)由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。

8.参考资料

刘建平老师博客：梯度提升树（GBDT原理小结）