生成函数的一个科技——指数族

浅谈指数族 \(\text{Exponential Family}\)

本文参考了 《Generating Functionology》Chapter 3 的内容

0.引入

某天，有人（不是我）问了如下问题（不用考虑任何置换），

• 如何求第一类、第二类斯特林数的生成函数？
• 如何求大小为 \(n\) 连通标号图的生成函数？
• 如何求大小为 \(n\) 的二分图数量的生成函数？
• ...

学习了 \(\text{Exponential Family}\) ，我们可以轻松解决上述问题。

1.一些定义

• 一个 \(\text{Card} \space C(S,p)\) 是一个包含有限集 \(S \subset \N_+\) 和一个描述 \(S\) 的图片（包括图）的二元组。

  它的权值为 \(|S|\) ，若 \(S = [n]\) ，则该 \(\text{Card}\) 被称为标准的。

• 一个 $\text{Hand} \space $ 为一些 \(\text{Card}\) 的集合，满足对于给定的 \(n\) ，有 \(\sum |S_i| = n\) 且 \(\cup S_i = [n]\) ，即它们可以恰好凑成 \([n]\) 。

  它的权值为 \(\sum |S_i|\) 。

• 一个 \(\text{Deck}\) 是若干权值相同的**标准 \(\text{Card}\) **集合，记 \(d_i= |D_i|\) ，

  \(D(x)\) 为 \(\{d_i\}\) 的 \(EGF\) 。

• 一个指数族（乱翻译的）\(\mathcal{F}\) 则包含了 \(D_1,D_2,...\) 。

\(h(n,k)\) 表示权值为 \(n\) 且恰好有\(k\) 个数 \(\text{Card}\) 的 \(\text{Hand}\) 个数，

令 $\large \mathcal{H}(x,y)=\sum_{n,k \geq 0}h(n,k)\frac{x^n}{n!}yk $ 。

如果省略 \(y\) 或 \(k\) ，例如 \(h(n)\) 、\(\mathcal{H}(x)\) 表示所有合法的 \(y\) 之和。

2. 一些性质

The exponential formula

对于一个 \(\mathcal{F}\) ，有

$\large \mathcal{H}(x,y)= \exp{yD(x)} $.

为了证明上述定理，首先我们介绍如下引理：

The Fundamental Lemma of Labeled Counting

令 \(\mathcal{F^{'}} ,F^{''}\) 为两个指数族，且它们的 \(\text{Hand}\) 互不相同，\(\mathcal{F} = \mathcal{F^{'}} \oplus F^{''}\) 为它们的合并，则有 \(\mathcal{H}(x,y)=\mathcal{H}^{'}(x,y)\mathcal{H}^{''}(x,y)\)。

证明：

注意到

\(\large h(n,k)=\sum_{n_1,k_1 \geq 0} \binom{n}{n_1} h^{'}(n_1,k_1)h^{''}(n-n_1,k-k_1)\)

其意义为选定 \(n\) 的一个 \(n_1\) 大小子集，然后再从其中任选 \(k_1\) 个 \(\text{Card}\) 。

而右式 $= [\frac{x^n}{n!}yk] \mathcal{H}^{{'}(x,y)\mathcal{H}}(x,y) $ .

\(\square\)

接下来我们考虑仅有一个 \(D_i\) 非零，的情况，则 \(h(n,k)\) 只能在 $ h(ki,k) $ 处有值。

不妨令 \(n = ik\)，由于所有 \(\text{Card}\) 的都是从 \(D_i\) 当中选择，因此最后需要除以 \(k!\) 。

也就是说：

\(\large h(ki,k)=d_i^k\frac{n!}{i!^k}\frac{1}{k!}\) ，

从而有

\[\mathcal{H}(x,y) = \sum_{n,k \geq 0}h(n,k)\frac{x^n}{n!}y^k = \sum_k h(n,k) \frac{x^{ik}}{n!}y^k = \sum_k \frac{d_i^kx^{ik}y^k}{k!(i!)^k} = \exp\{\frac{y\times d_ix^i}{i!}\} \]

然后，我们再考虑将不同的 \(D_i\) 合并在一起，不妨认为仅由 \(D_i\) 产生的 \(\text{Hand}\) 的生成函数记作 \(\mathcal{H}_i(x,y)\) ，有引理知，我们有：

\[\mathcal{H}(x,y)=\prod_{i\geq1}H_i(x,y)= \exp\{y\sum_{i \geq 1} \frac{d_ix^i}{i!}\}=\exp\{yD(x)\} \]

\(\square\)

3. 应用

求第一类斯特林数

容易发现大小为 \(i\) 的圆排列 \(d_i = (i-1)!\) ，从而 \(D(x)=\sum_{i\geq1}\frac{x^n}{n}=\log\frac{1}{1-x}\)，

因此 \(\mathcal{H}(x,y)=e^{yD(x)}=\frac{1}{(1-x)^y}\)。

求第二类斯特林数

大小为 \(i\) 的子集只有 \(1\) 个，因此 \(D(x) = e^x-1\) ，

从而 \(\mathcal{H}(x,y)=e^{y(e^x-1)}\)。

$ \mathcal{H} (x)=e^{ex-1}$ 其实就是著名的贝尔数的 \(EGF\)。

求连通图个数

如果一个 \(\text{Hand}\) 表示一个图，

那么一个 \(\text{Deck}\) 就表示一个连通图。

而显然，\(\mathcal{H}(x)=\sum_{n\geq0}2^{\binom{n}{2}}\frac{x^n}{n!}\)，

因此 \(D(x)=\log \mathcal{H}(x)\)，

二分图数量

首先考虑如果黑白两色可以区分，

则 \(h_i=\sum_{k\geq0}\binom{n}{k}2^{k(n-k)}\) ，

从而有 \(D(x)=\log \mathcal{H}_0(x)\) ，

但是不考虑颜色，我们会有 \(\mathcal{H}(x)=\exp \frac{D(x)}{2}=\sqrt{\mathcal{H}(x)}\)。

思考：如何计算每个点度数都为 2 的图的个数？