CF1859F

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现有一棵大小为\(10^5\)的有边权树和最多\(10^5\)次询问，每次询问树上两点\(u\)到\(v\)需要的最短时间

与直接求路径长度不同的是，你的速度是可以变化的。你的初始速度\(c=1\)，在可以练习的地点，你可以花费时间\(T\)使得你的速度\(c = c \times 2\)，而你经过每条路径所需的时间为$ \lceil \frac{w_i}{c} \rceil $。

易得以下三点

• 对于一组询问，你的移动路径有可能会经过重复的点
• 你一定只在第一个经过的可以练习的点进行练习
• 练习次数不会超过\(\max_{i=1}^n w_i\)，答案不会超过\(2 \times 10^9\)

对于当前速度为\(c=2^k\)，在任意两点\(u\)，\(v\)之间移动所需时间，把这个值设为\(dis_{u,v,k}\)

我们首先可以倍增预处理一个点到他所有\(2\)的整数次方的父亲，然后在\(log_2n\)的时间内求出\(dis_{u,v,k}\)

如果我们的路径不是从\(u\)直达\(v\)，那么一定是从某个点离开路径练车，再由这个点返回路径

出发点为\(u\)，终点为\(v\)，假设我们从点\(x\)离开路径，在点\(y\)练车，我们所需要的时间就是

\[\min_{i=1}^{20} ( dis_{u,x,0} + dis_{x,y,0} + dis_{y,x,i} + dis_{x,v,i} + T \times i ) \qquad OR \qquad dis_{u,v,0} \]

后者我们可以直接求出，前者我们先用\(BFS\)维护出每个点\(x\)前往一个点练车\(i\)次然后回到该点的最小时间，把这个值设为\(diss_{x,i}\)

可以对倍增中的每个区间\(x\)到他的往上第\(2^y\)个父亲，维护出

• \(dis1_{x,y,i}\) = 从\(x\)出发，练了\(0\)次车，最后到达父亲\(y\)，练了\(i\)次车的最小时间
• \(dis2_{x,y,i}\) = 从\(x\)的父亲\(y\)出发，练了\(0\)次车，最后到达\(x\)，练了\(i\)次车的最小时间

\[dis1_{x,0,i} = dis2_{x,0,i} = diss_{x,i} \]

\[dis1_{x,y,i} = min(dis1_{x,y-1,i}+dis_{f_{x,y-1},y-1,i},dis_{x,y-1,0}+dis1_{f_{x,y-1},y-1,i}) \]

\[dis2_{x,y,i} = min(dis2_{x,y-1,i}+dis_{f_{x,y-1},y-1,0},dis_{x,y-1,i}+dis1_{f_{x,y-1},y-1,i}) \]

然后对每个区间都按照这个求一遍最小的距离，一定包含最优解

开\(long \ long\)会mle，每个区间的答案对\(2 \times 10^9\)取\(min\)，时间复杂度\(nlog^3n\)

进行前缀和优化可以达到\(nlog^2n\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pli pair<ll,int>
#define bi (1<<i)
using namespace std;
int dis[100005][18][21],diss[100005][21];
int dis1[100005][18][21],dis2[100005][18][21];
int fa[100005][18],dep[100005];
bool vis[100005],vs[100005];
vector<pii>e[100005];
int n;
ll t;
int add(int x,int y){
    return min((ll)2e9,(ll)x+y);
}
void dfs(int x,int f){
	vis[x]=1;
	fa[x][0]=f;
	dep[x]=dep[f]+1;
	for(int i=1;i<=20;i++){
		dis[x][0][i]=dis[x][0][0]>>i;
		if(dis[x][0][0]%bi)dis[x][0][i]++;
	}
	for(int i=1;i<=17;i++){
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		for(int j=0;j<=20;j++)
			dis[x][i][j]=add(dis[fa[x][i-1]][i-1][j],dis[x][i-1][j]);
	}
    for(int i=0;i<=20;i++){
        dis1[x][0][i]=add(diss[x][i],dis[x][0][i]);
        dis2[x][0][i]=add(diss[f][i],dis[x][0][i]);
    }
    for(int i=1;i<=17;i++)
        for(int j=0;j<=20;j++){
            int f=fa[x][i-1];
            dis1[x][i][j]=min(add(dis1[x][i-1][j],dis[f][i-1][j]),add(dis[x][i-1][0],dis1[f][i-1][j]));
            dis2[x][i][j]=min(add(dis2[x][i-1][j],dis[f][i-1][0]),add(dis[x][i-1][j],dis2[f][i-1][j]));
        }
	for(auto u:e[x])
		if(!vis[u.first]){
			dis[u.first][0][0]=u.second;
			dfs(u.first,x);
		}
}
int lca(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	for(int i=17;i>=0;i--)
		if(dep[u]-dep[v]>=bi)u=fa[u][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=17;i>=0;i--)
		if(fa[u][i]!=fa[v][i])
			u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[u][0];
}
ll sum(int u,int v,int m){
	ll cnt=0;
	int l=lca(u,v);
	for(int i=17;i>=0;i--){
		if(dep[u]-dep[l]>=bi)
			cnt+=dis[u][i][m],u=fa[u][i];
		if(dep[v]-dep[l]>=bi)
			cnt+=dis[v][i][m],v=fa[v][i];
	}
	return cnt;
}
ll qry(int u,int v){
    int l=lca(u,v);
    ll cnt[21],ans=sum(u,v,0);
    for(int i=0;i<=20;i++)cnt[i]=0;
    for(int i=17;i>=0;i--)
        if(dep[u]-dep[l]>=bi){
            int f=fa[u][i];
            for(int j=1;j<=20;j++)
                ans=min(ans,dis1[u][i][j]+sum(f,v,j)+cnt[0]+t*j);
            cnt[0]+=dis[u][i][0];
            u=fa[u][i];
        }
    for(int i=17;i>=0;i--)
        if(dep[v]-dep[l]>=bi){
            int f=fa[v][i];
            for(int j=1;j<=20;j++){
                ans=min(ans,dis2[v][i][j]+sum(f,u,0)+cnt[0]+cnt[j]+t*j);
                cnt[j]+=dis[v][i][j];
            }
            v=fa[v][i];
        }
    return ans;
}
void bfs(int x){
	priority_queue<pli,vector<pli>,greater<pli>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		diss[i][x]=1e18;
		if(vs[i]){
			q.push({0,i});
			diss[i][x]=0;
		}
	}
	while(!q.empty()){
		int now=q.top().second;
        ll d=q.top().first;
		q.pop();
		if(d>diss[now][x])continue;
		for(auto u:e[now])
			if(diss[u.first][x]>d+1+(u.second-1>>x)+u.second){
				diss[u.first][x]=d+1+(u.second-1>>x)+u.second;
                if(diss[u.first][x]>=2e9)continue;
				q.push({diss[u.first][x],u.first});
			}
	}
}
void solve(){
	scanf("%d%lld",&n,&t);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		vis[i]=0;
		e[i].clear();
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		e[u].push_back({v,w});
		e[v].push_back({u,w});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		scanf("%1d",&x);
		vs[i]=x;
	}
	for(int i=0;i<=20;i++)
		bfs(i);
	dfs(1,0);
	int q;
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		printf("%lld\n",qry(u,v));
	}
}
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)solve();
	return 0;
}