[笔记]决策单调性

\[f_{i} = \min_{j \le i} f_j + w(i, j) \]

我们设 \(f(i, j)\) 表示 \(j\) 为决策点，\(i\) 为被决策点。则若满足：

\[\dfrac{\frac{\partial f}{\partial i}}{\partial j} > 0 \]

恒成立，则满足四边形不等式。

也即，若 \(w\) 的二维混差恒非负，则该函数具有凸性。

为什么只需要证明 \(w\) 的凸性

可以略过。

引入完全单调矩阵的概念。若矩阵 \(\mathcal{A}\) 满足 \(\forall i < j, p_i < p_j\)，则称 \(\mathcal{A}\) 为完全单调矩阵。其中 \(p_i\) 表示第 \(i\) 行的最小值所在的位置。

我们定义蒙日矩阵。若矩阵 \(\mathcal{M}\) 满足 \(\forall i_1 < i_2, j_1 < j_2\)，都有 \(\mathcal{M}_{i_1, j_1} + \mathcal{M}_{i_2, j_2} \le \mathcal{M}_{i_1, j_2} + \mathcal{M}_{i_2, j_1}\) 则称 \(\mathcal{M}\) 为蒙日矩阵。

我们发现蒙日矩阵一定是完全单调矩阵。其逆命题不成立。

基于蒙日矩阵的性质，蒙日矩阵的数乘和加法是封闭的。我们基于基本的矩阵——常数阵可以得到，蒙日矩阵的某行或者某列同时加上常数 \(k\) 后仍然是蒙日矩阵。

蒙日矩阵的转置 \(\mathcal{M}\) 也是蒙日矩阵。因此我们可以说，对蒙日矩阵做初等行列变换后得到的还是蒙日矩阵。

对于 1D 的转移，\(f_i = \min_{j \le i}\{f_j + w_{j, i}\}\)。这里相当于对矩阵 \(\mathcal{W}\) 第 \(j\) 行同时加上一个常数 \(f_j\)。根据上面的性质，只要证明 \(\mathcal{W}\) 是决策单调的就可以了。

对于 2D 的情况其实同理。