浅谈整除分块

学莫反的时候，发现许多题都会用到一个小技巧，于是有了下面这篇博文~

---

引入

有问题如下：求

\[\sum_{i = 1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor \]

其中 \(n \leq 10 ^ 9\)

---

考虑暴力做法枚举每一个 \(i\) 并对 \(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\) 求和，时间复杂度为 \(O(n)\)。

下面考虑优化。

对于一个数 \(n\)，将 \(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\) 的值打表后发现，表中有大量重复元素，那么是否可以将“将相同的数依次相加”改为“相同数的个数乘以这个数”呢？答案是可以的。

如果我们将 \(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\) 值相同的放在一个块里，那么会有如下结论：

结论1：块数小于等于 \(\sqrt{n}\)
结论2：每一块的右端点 \(r\) 等于 \(\left \lfloor\frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor} \right \rfloor\)

证明不会。

因此可以保证复杂度控制在 \(O(\sqrt{n})\) 左右。

例题：

Luogu P1403 [AHOI2005]约数研究

Luogu P2424 约数和