KMP

定义

约定记号

\(s[l,r]\) 代表从 \(l\) 到 \(r\) 的子串。

\(\pi\) 函数

对于一个字符串 \(s\)，它的 \(\pi\) 函数是它的前缀和后缀相等的最长长度。

\[\pi=\max_{s[1,i]=s[n-i+1,n]} i \]

进一步，我们定义 \(\pi_i\) 是字符串前 \(i\) 个字符组成的子串的 \(\pi\) 函数值。特别的，定义 \(\pi_1 =0\)。

下面我们考虑如何求出 \(\pi\) 数列。

对于 \(\pi_1=0\) 是确定的，考虑递推。

假设我们当前求出了 \(\pi_1,\pi_2,\cdots,\pi_i\) 要求出 \(\pi_{i+1}\)。

有一个特殊情况，如果 \(s[\pi_i+1]=s[i+1]\)，那么 \(pi_{i+1}=\pi_i+1\)。

根据 \(\pi\) 函数定义，\(s[1,\pi_i]=s[i-\pi_i+1,i]\)，那么如果 \(s[\pi_i+1]=s[i+1]\)，就有了 \(s[1,\pi_i+1]=s[i-\pi_i+1,i+1]\)，进而有 \(\pi_{i+1}=\pi_i+1\)。

下面考虑当 \(s[i+1]\ne s[\pi_i+1]\) 时的情况：

还是一样的，\(s[1,\pi_i]=s[i-\pi_i+1,i]\)，\(\pi_{i+1}\) 肯定不比 \(\pi_i\) 大，所以我们要在 \([1,\pi_i]\) 中找到一个最大的 \(j\) 使得 \(s[i-j+1,i+1]=s[1,j+1]\)，此时 \(\pi_{i+1}=j+1\)。

注意到此时 \(s[1,j]\) 是 \(s[1,\pi_i]\) 的前缀，\(s[i-j+1,i]\) 是 \(s[i-\pi_i+1,i]\) 的后缀，又因为 \(s[1,\pi_i]=s[i-\pi_i+1,i]\)，所以 \([i-j+1,i]\) 是 \(s[1,\pi_i]\) 的后缀。

当满足 \(s[i-j+1,i+1]=s[1,j+1]\) 且 \(j\) 最大时，也就是 \(s[1,\pi_i]\) 的前缀和后缀相等且长度最长的时候，我们发现此时正好和 \(\pi\) 的定义对上了，那么此时的 \(j\) 就是 \(\pi_{\pi_i}\)。

若此时 \(s[j+1]=s[i+1]\)，那么 \(\pi_{i+1}=j+1\)。否则一直这么找下去，直到真的没有相同的前后缀。

求 \(\pi\) 数组代码：

pi[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
    int j=pi[i-1];
    while(j&&s[j+1]!=s[i])j=pi[j];
    if(s[i]==s[j+1])j++;
    pi[i]=j;
}