网络流模型 · 最小路径覆盖 & 拓展

定义

在一个 DAG（有向无环图中），选择其中的一些简单路径，若图中每个点都恰好在其中一条路径上，则称这些路径是一个路径覆盖。

所有路径覆盖中，路径条数最小的路径覆盖叫做最小路径覆盖。

例如在上图中，\(\{\{1\},\{2,3\},\{4,5\}\}\) 是一个路径覆盖，\(\{\{1,2,3,4,5\}\}\) 是一个最小路径覆盖，只用了一条路径。

任务是找出 DAG 上的最小路径覆盖，且输出方案。

建模

考虑二分图最大匹配。

我们对原图中每个点 \(u\) 拆成两个点，记为左部点 \(L(u)\) 和右部点 \(R(u)\)。

对于原图中每条边 \((u,v)\)，连接 \(L(u)\) 到 \(R(v)\)。

则答案为原图中点数减去最大匹配数。

正确性

假设开始时图上的每个点都自成一条路径，我们要做的是尽可能多地把路径合并。

考虑一下路径合并的隐藏条件：

首先，路径合并是可以传递的，简单来说，如果 \(x\) 能跟 \(y\) 合并，\(y\) 能跟 \(z\) 合并，那么 \(\{x,y,z\}\) 可以合并成一条路径。所以我们可以只考虑点与点之间的合并关系，再利用传递性求方案。

其次，每条路径只能向一个路径合并，也只能被一条路径合并。

这下就好办了。在我们构造的二分图中，如果一条边 \((L(u),R(v))\) 被选中了，那么说明在原图中点 \(u\) 要向点 \(v\) 合并，同时其它在二分图中与其它 \(L(u)\) 相连的边都不能被选中，对应着在原图中一个点仅能选择另外一个点进行合并。

此时的最大匹配就是可以合并的数量，用总的点数减去它就是答案。

至于方案数，可以根据上面所说的，用并查集简单维护即可。

二分图的最大匹配我们可以选择用最大流来求。跑完最大流后，如果一条连接 \(L(u)\) 和 \(R(v)\) 的边容量为 \(0\)，则说明这条边在二分图中被选中了。

拓展 1 · 最小链覆盖

所谓最小链覆盖，无非是把路径改为了链。对应的，DAG 上的每一个点可以被重复覆盖多次。

此时我们对 DAG 用 Floyd 进行传递闭包，得出每个点相互可不可达，再根据这个跑最小路径覆盖即可。

拓展 2 · DAG 最大独立集

顾名思义，我们要在 DAG 中选取一些点，使得任意两个点都不能从其中一个点到另外一个。

此时我们引入偏序集。

偏序集

偏序集和偏序关系

我当然不会上来就放形式化的东西，否则你们还有什么来看的必要呢？

所谓偏序集，指的是一个集合和一个关系的共同体。

那么何为关系？举个最简单的例子，“\(\leq\)”（小于等于号）是一个关系。

现在我们给偏序集做一个定义，百度说：

若在集合 \(A\) 上给定一个偏序关系 \(\leq\) ，则称集合 \(A\) 按偏序关系 \(\leq\) 构成一个偏序集合，集合 \(A\) 和偏序 \(\leq\) 一起称为偏序集，记作 \((A,\leq)\)。

不懂。什么是偏序关系？

设 \(R\) 是集合 \(A\) 上的一个关系，如果 \(R\) 是自反的、反对称的和可传递的，则称 \(R\) 是集合 \(A\) 的偏序关系，简称偏序，记作“\(\leq\)”。

现在对偏序关系中的一些名词做一些解释：

自反：\(\forall a\in A,a\leq a\)

反对称：$\forall a,b\in A, $ 若 \(a\leq b\) 且 $ b\leq a,$ 则 \(a=b\)

传递性：$\forall a,b,c\in A, \(若\) a\leq b \(且\) b\leq c, \(则\) a\leq c$

不妨把这个小于等于号真的当做一个小于等于号来看待，则 \(\leq\) 是 \(\mathbb{R}\) 的偏序关系。

所以我们可以说 \((\mathbb{R},\leq)\) 是一个偏序集。

元素之间的可比关系

设 \((P,\leq)\) 是一个偏序集。

\(a,b\in P\)，若 \(a\leq b\) 或 \(b\leq a\)，则我们称 \(a\) 与 \(b\) 是可比的。无需解释。

否则我们说 \(a\) 与 \(b\) 不可比，记作 \(a\mid\mid b\)。

延伸

设 \((P,\leq)\) 是一个偏序集，\(\geq\) 是一个关系。

若对于 \(\forall x,y\in P\)，有 \(x\leq y \Leftrightarrow y\geq x\)，则我们称 \(\geq\) 是 \(\leq\) 的逆关系，记作 \(\leq^{-1}\)。\(\leq^{-1}\) 是 \(\leq\) 的逆。无需解释，符号已经说的很明白了。

那么，若 \((A,\leq)\) 是一个偏序集，\((A,\leq^{-1})\) 也是一个偏序集。这是显然的。\((A,\leq^{-1})\) 称作 \((A,\leq)\) 的对偶，简记作 \(A^{-1}\)。

偏序集的哈塞图

所谓哈塞图，不如将其理解为一个 DAG。

设 \((P,\leq)\) 是一个偏序集，我们对于 \(\forall a,b(a\neq b)\in P,\) 若 \(a\leq b\) 则从 \(b\) 到 \(a\) 连一条边，最后显然会形成一个 DAG。（根据传递性可得到图中没有环）

链、反链、Dilworth 定理

偏序集 \((P,\leq)\) 上的一个链是一个元素集合 \(S \subset P\)，其中 \(\forall a,b\in S,a\) 与 \(b\) 可比。

反链就是反着来，也是一个元素集合 \(S\subset P\) 其中 \(\forall a,b\in S,a\mid\mid b\)。

需要注意的是，链在 DAG 中并不是一条路径，而是一条路径上可以不连续的几个点，但是在后续我们为了方便，把链看成 DAG 上的一条路径，反链就是一些 DAG 上互相不可达的点。

接下来我们引入偏序集的链划分。

所谓链划分，就是一些链的集合，使得偏序集的每一个元素都在其中至少一条链上。

最小链划分就是用最少的链来把整个偏序集覆盖，对应到 DAG 上就是最小链覆盖。

Dilworth 定理指出，偏序集中的最长反链长度等于最小链划分个数。

证明略，感兴趣的可以尝试对偏序集的大小进行归纳证明。

模型

看到这里是不是恍然大悟了，我们在原 DAG 上求最小链覆盖，得到的答案就是最大独立集大小。