数学 · 偏序集

定义

基础

偏序集和偏序关系

我当然不会上来就放形式化的东西，否则你们还有什么来看的必要呢？

所谓偏序集，指的是一个集合和一个关系的共同体。

那么何为关系？举个最简单的例子，“\(\leq\)”（小于等于号）是一个关系。

现在我们给偏序集做一个定义，百度说：

若在集合 \(A\) 上给定一个偏序关系 \(\leq\) ，则称集合 \(A\) 按偏序关系 \(\leq\) 构成一个偏序集合，集合 \(A\) 和偏序 \(\leq\) 一起称为偏序集，记作 \((A,\leq)\)。

不懂。什么是偏序关系？

设 \(R\) 是集合 \(A\) 上的一个关系，如果 \(R\) 是自反的、反对称的和可传递的，则称 \(R\) 是集合 \(A\) 的偏序关系，简称偏序，记作“\(\leq\)”。

现在对偏序关系中的一些名词做一些解释：

自反：\(\forall a\in A,a\leq a\)

反对称：$\forall a,b\in A, $ 若 \(a\leq b\) 且 $ b\leq a,$ 则 \(a=b\)

传递性：$\forall a,b,c\in A, \(若\) a\leq b \(且\) b\leq c, \(则\) a\leq c$

不妨把这个小于等于号真的当做一个小于等于号来看待，则 \(\leq\) 是 \(\mathbb{R}\) 的偏序关系。

所以我们可以说 \((\mathbb{R},\leq)\) 是一个偏序集。

元素之间的可比关系

设 \((P,\leq)\) 是一个偏序集。

\(a,b\in P\)，若 \(a\leq b\) 或 \(b\leq a\)，则我们称 \(a\) 与 \(b\) 是可比的。无需解释。

否则我们说 \(a\) 与 \(b\) 不可比，记作 \(a\mid\mid b\)。

延伸

设 \((P,\leq)\) 是一个偏序集，\(\geq\) 是一个关系。

若对于 \(\forall x,y\in P\)，有 \(x\leq y \Leftrightarrow y\geq x\)，则我们称 \(\geq\) 是 \(\leq\) 的逆关系，记作 \(\leq^{-1}\)。\(\leq^{-1}\) 是 \(\leq\) 的逆。无需解释，符号已经说的很明白了。

那么，若 \((A,\leq)\) 是一个偏序集，\((A,\leq^{-1})\) 也是一个偏序集。这是显然的。\((A,\leq^{-1})\) 称作 \((A,\leq)\) 的对偶，简记作 \(A^{-1}\)。

偏序集的哈塞图

所谓哈塞图，不如将其理解为一个 DAG。

设 \((P,\leq)\) 是一个偏序集，我们对于 \(\forall a,b(a\neq b)\in P,\) 若 \(a\leq b\) 则从 \(b\) 到 \(a\) 连一条边，最后显然会形成一个 DAG。（根据传递性可得到图中没有环）

链与反链

偏序集 \((P,\leq)\) 上的一个链是一个元素集合 \(S \subset P\)，其中 \(\forall a,b\in S,a\) 与 \(b\) 可比。

反链就是反着来，也是一个元素集合 \(S\subset P\) 其中 \(\forall a,b\in S,a\mid\mid b\)。

需要注意的是，链在 DAG 中并不是一条路径，而是一条路径上可以不连续的几个点，但是在后续我们为了方便，把链看成 DAG 上的一条路径，反链就是一些 DAG 上互相不可达的点。

接下来我们引入偏序集的链划分。

所谓链划分，就是一些链的集合，使得偏序集的每一个元素都在其中至少一条链上。

最小链划分就是用最少的链来把整个偏序集覆盖，对应到 DAG 上就是最小链覆盖。

Dilworth 定理指出，偏序集中的最长反链长度等于最小链划分个数。