学习容斥原理

参考博客容斥原理（翻译）

容斥原理是组合数学方法，可以求解集合、复合事件的概率等。

原理描述：

计算几个集合并集的大小，先计算出所有单个集合的大小，减去所有两个集合相交的部分，加上三个集合相交的部分，再减去四个集合相交的部分，以此类推，一直计算到所有集合相交的部分 。

维恩图：

概率论:

事件Ai(i=1,...,n)，P(Ai)为对应事件发生的概率。至少一个事件发生的概率：

容斥原理的证明：

B为Ai的集合。

假设某个任意元素在k个Ai集合中(k>=1)，证明这个元素只被加了一次：

size(C)=1,该元素被加k次

size(C)=2,该元素被加(-1)^(2-1)* C(k,2)次

size(C)=3,该元素被加(-1)^(3-1)* C(k,3)次

...

size(C)=k,该元素被加(-1)^(k-1)* C(k,k)次

size(C)>k,该元素被加0次

计算总次数：

---

codeforces gym 101350G

题意：给出n*m的矩形，其中有k个炸弹(k<20)，求出不包含炸弹的矩形的总个数。

思路：炸弹个数k很小，可以运用容斥，处理恰包含i(i=1,2,...,k)个炸弹（枚举任意的i个炸弹，处理恰包含这i个炸弹的最小的矩形，公式处理。）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=55;
#define sa(x) scanf("%d",&x)
#define pr(x) printf("%d\n",x)
#define de(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
//--------------------------------------//
ll x[N],y[N];
ll n,m;
int k;
ll solve() {
    ll x1,x2,y1,y2,ans=0;
    for(int i=1;i<(1<<k);++i) {
        ll bits=0;
        ll res=1ll;
        for(int j=0;j<k;++j) {
            if((1<<j)&i) {
                if(!bits) x1=x2=x[j],y1=y2=y[j];
                else {
                    x1=min(x1,x[j]);
                    y1=min(y1,y[j]);
                    x2=max(x2,x[j]);
                    y2=max(y2,y[j]);
                }
                ++bits;
            }
        }
        ll t=x1*(n-x2+1)*y1*(m-y2+1);
        if(bits&1) ans+=t;
        else ans-=t;
    }

    return ans;
}
int main() {
    int T;sa(T);
    while(T--) {
        scanf("%I64d%I64d%d",&n,&m,&k);
        for(int i=0;i<k;++i) scanf("%I64d%I64d",&x[i],&y[i]);
        ll ans=(1ll+n)*n*(1ll+m)*m/4ll-solve();
        printf("%I64d\n",ans);
    }

    return 0;
}

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hdu 4135

题意：区间[a,b]内与n互质的数的个数。

思路：将n质因数分解。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<vector>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000005;

#define de(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
//--------------------------------------//

ll p[N];
int main() {
    int T,cas=0; scanf("%d",&T);
    ll a,b,r,ans1,ans2;
    while(T--) {
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&r);
        int pcnt=0;
        ans1=ans2=0;
        --a;

        for(ll i=2;i*i<=r;++i) {//对r质因数分解
            if(r%i==0) {
                p[pcnt++]=i;
                while(r%i==0) r/=i;
            }
        }
        if(r>1) p[pcnt++]=r;

        for(int i=1;i<(1<<pcnt);++i) {
            ll mul=1;
            ll bits=0;
            for(int j=0;j<pcnt;++j) {
                if(i&(1<<j)) {
                    mul*=p[j];
                    bits+=1ll;
                }
            }
            if(bits&1) ans1+=a/mul,ans2+=b/mul;
            else ans1-=a/mul,ans2-=b/mul;
        }
        ll ans=b-a+ans1-ans2;
        printf("Case #%d: %I64d\n",++cas,ans);
    }
    return 0;
}