计算机系统第二次讨论选题3

计算机系统第二次讨论课选题3

什么是IEEE

​ 我们先不给出冗长的IEEE的定义，而看待这个问题：在计算机中如何表示浮点数？

​ 我们在内存中用连续的32位来表示一个int型的整数，自然而然的就想到也用这种方式来表示小数，并增加一个相应记录小数点位数的寄存器。举个例子：

​ \(1.5\ 可以用\ 1.1_{(2)}来表示，也就是小数点后面的2的幂次依次减1，即1.1_{(2)}\ =\ 1\times2^{0}\ +\ 1\times2^{-1}\ =\ 1.5_{(10)}\)

​ 这种表示方式往往会比较浪费，并且我们不好确定小数点的位置，表示的范围很受局限，比如如果整数部分与小数部分是16与16对分的话，那么最大的数也才是\(2^{15}\)。

​ 于是有天才研发出了IEEE表示标准。以float浮点数为例，仍旧是利用32位的内存来表示小数，但是它更优雅更明了。

​ 在IEEE中，浮点数有一个数学表达式：\((-1)^sM2^E\)，其中M是小数，E叫做2的幂次，范围在[1.0,2.0)，当然这个数学表达式怎么搞我会后面讲解。

​ IEEE标准将32位的存储空间分成三个部分，最高位是符号位，表示正负用的也就是\(s\)​。再向后8位叫做阶码位，再向后的23位就是真正存储的有效位。其中单精度也就是float规定了阶码位是8位，双精度的阶码位是11位。为了能让数学表达式表示小数，IEEE中还有一个偏差Bias，其中\(Bias\ =\ 2^{k-1}\ -\ 1\)​，k就是阶码位的位数。

举例

float test = 15123.0f;

​ 让我们用15123这个数进行举例子。

​ 首先为了在机器中表示，我们将其转化成二进制\(15123_{(10)}\ =\ 11101100010011_{(2)}=1.1101100010011_{(2)} \times 2^{13}\)

​ 让我们做一个小学生游戏----与IEEE中提供的那个数学表达式进行对比：

\[s=0 \]

\[M=1.1101100010011\in[1.0,\ 2.0) \]

\[E\ =\ 13 \]

​ 那么现在我们至少可以确定在CPU中的首位是0，因为15123是一个正数。

​ 那么阶码位呢？前面我们提及了\(Bias\)，并且说了它与阶码位有一定的联系。在IEEE中阶码位=\(Bias + E\)。 不要问我为什么，这是IEEE中的规定，所以这个数的阶码位是\(127 + 13 = 140\)，转为2进制位\(140_{(10)}\ =\ 10001100_{(2)}\)。

​ 剩下的就是真正的存储有效位。还记得M吗，我们在IEEE中规定了M一定\(≥\)​1，那么IEEE中就将这一位缺省并只将剩下的小数点后面的位放入内存中存储，不够的话补0.

​ 那么现在我们就明了了，float15123在内存的存储是：

0 10001100 110110001001100000000 #用空格隔开了表示上面所说的三部分

PS：其实到这里，我们应该能够得出来float的范围是\(2^{-128}\ - \ 2^{128}\) ，注意我们只能说范围

​ GDB单步汇编调试验证如下：

#include <stdio.h>
	
int main(){
    float f = 15123;
    printf("%.12f",f);
    return 0;
}

​ 我们可以查看\(f\)临近的4个字节，不妨先来预测一下这4个字节会是什么内容。我们的机器都是小端法存储，而机器打印出来的会是内存地址从从小到大的顺序。于是我们15123对应的2进制从高向低看

​ 首先的第四个内存地址存的应该是\(01000110，对应16进制就是0x46\)，第三个内存地址存的应该是\(01101100，对应16进制就是0x6c\)，第二个内存地址应该存的是\(00100110，对应16进制就是0x4c\)，第一个内存地址内是0。
接下来就是见证奇迹的时候：

为什么有些正整数不能精确表示？

​ 把目光再次放到表达式\((-1)^sM2^E\)​上，\(M\)​是一个小数并且它的小数位是23位，我们之前说过，那么它的小数部分最小就是\(2^{-23}\)​。我们可以想象，当\(E≤23\)​的时候，每当M的小数位相对性地”增“1的时候，我们都会在M的小数位中找到唯一一个与之对应的幂次\(E'\)​，使得\(2^{E'}\ \times\ 2^{E}\ =\ 1\)​​。也就是说此时每当M加1，确实是可以进行精确表示的。

​ 这段不好理解，我举个例子。

​ 设我们所需要表示的正整数为\(C\).

​ 比如当\(E=14\)的时候，如果要求\(C\)是正整数，那么就要求小数点往后从第15位开始全部是0.那么如果我们需要对于\(C\)加1操作，那么必然是在小数点从前向后数第14位\(+1\)，记作\(C_{14}\)。假设之前\(C\)是一个偶数，也就是说\(C_{14}=0\)，那么如果我们对\(C\)加一，那么对应\(C_{14} = 1\)，要将它换成十进制的时候就是\(2^{-14}\)，当然它还需要与\(2^E\)相乘，这里的E是14，也就是得到1。依次类推，知直到\(E = 23\)的时候我们仍然可以这样依次加1的方式来精确地表达整数。

​ 当\(E＞23\)的时候，不妨取E=24，就算是M的最低位增1，那么也是\(2^{-23}\ \times\ 2^{24}\ =\ 2\)，即增加的是2，也就是中间的从该数增1的整数不能正确表示。

​ 综上所述，我们可以知道不能精确表示的最小正整数是\(2^{24}\ +\ 1\ = \ 16777217\)

​

计算n阶码，m位尾数不能精确表示的最小整数

​ 套公式就好了。基于上面的分析可知是\(2^{m+1}+1\)。