运筹学两阶段法中的人工变量数量问题

运筹学两阶段法中的人工变量数量问题

在运筹学的两阶段法中，为了找到线性规划（LP）问题初始解的可行性，通常需要在约束条件中引入人工变量。以下是我学习课本后对相关内容的总结。

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1. 人工变量的引入条件

• 等式约束（=）：每一个等式约束需要引入一个人工变量。

• 大于等于约束（≥）：每一个“大于等于”约束需要引入一个松弛变量和一个人工变量。

• 小于等于约束（≤）：通常通过引入松弛变量即可转化为等式约束，不需要人工变量

  

因此，需要的人工变量数量通常等于等式约束和大于等于约束的个数之和。

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2. 单位向量的作用

如果约束条件中已经包含了一些单位向量，可以减少所需的人工变量数量，因为这些单位向量可以直接作为初始基变量，从而保证了初始解的可行性。具体来说：

• 设总共需要引入人工变量的约束个数为 m，但如果其中已有 a 个单位向量，那么只需为剩下的 m - a 个约束引入人工变量即可。

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3. 公式总结

最终，需要引入的人工变量个数可以表示为：

需要的人工变量个数 = m - a

其中：

• m 是等式约束和大于等于约束的总个数。
• a 是约束条件中已包含的单位向量数量。

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4. 示例

假设一个问题中有 3 个等式约束和 1 个大于等于约束，通常情况下需要引入 4 个人工变量（即 m = 4）。如果这些约束中已经包含 2 个单位向量（即 a = 2），那么实际只需引入 4 - 2 = 2 个人工变量。