杂文：关于直线对称的处理 （点关于直线对称，直线关于直线对称，垂直平分线，角平分线）

前言：一种看直线的观点

我们都采用一般式 \(Ax+By+C\) 来研究

它有一个观点：可以看成是向量 \((A,B)\) 点乘向量 \((x,y)\) 为定值 \(-C\)

容易想象出来：和定向量 \(\vec{u}\) 点乘为定值的点，其轨迹为 垂直 \(\vec{u}\) 的直线

所以 \((x,y)\) 的轨迹是垂直 \((A,B)\) 的直线。也就是说 \((A,B)\) 为直线的法向量。

则其单位法向量为 \(\vec{n}=\dfrac{(A,B)}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

这件事情非常有用！因此后面说 \(\vec{n}\) 默认指 单位 法向量

你可以用它来轻易的得到点到直线距离公式。

点关于直线对称

考虑求点 \(P(x,y)\) 关于 \(l:Ax+By+C\) 的对称点 \(P'(x',y')\)

我们不妨求向量 \(\vec{v} = \vec{PP'}\)，显然它和直线 \(l\) 垂直

因此它应该平行于单位法向量 \(\vec{n}\)

再考虑其长度，显然为两倍的 \(P\) 到 \(l\) 距离，距离记为 \(d\)

所以 \(\vec{v}\) 应该是 \(2d \vec{n}\)，可是方向呢？

考虑 点到直线的有向距离：

• 定义为，和 \(\vec{n}\) 同向为正，反向为负；绝对值和距离相等
• 其表达式很简单，其实就是 \(\dfrac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

我们重新定义 \(d\)，为 \(l\) 到 \(P\) 的有向距离为。那显然从 \(P\) 到 \(P'\) 的方向，和 \(P\) 的有向距离的方向，应该相反

所以 \(\vec{v}=-2d\vec{n}\)

所以 \(P'=(x,y)-2d\vec{n}\)

\(=(x,y)-\dfrac{2(Ax+By+C)}{A^2+B^2}\cdot(A,B)\)

已知两点求对称轴 （垂直平分线）

考虑上述问题的另一个视角。已知两点，求其对称轴。当然，就是垂直平分线

假设是 \((x_1,y_1), (x_2,y_2)\)

首先直线要和两点连线垂直，所以法向量为 \(\vec{v}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)

其次，要过中点 \((x_m, y_m)=(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2})\)

因此方程为 \((x_1-x_2)(x-x_m)+(y_1-y_2)(y-y_m)=0\)

展开得到：\((x_1-x_2)x+(y_1-y_2)y=\dfrac{1}{2}(x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2)\)

还挺优雅

直线关于直线对称

考虑直线 \(ax+by+c\) 关于 \(Ax+By+C\) 的对称直线

该直线上的点满足：若对称回去，则在 \(ax+by+c\) 上

可以写出方程：\(ax'+by'+c\)，其中 \((x',y')\) 就是上文中点到直线的对称

代入那个 \(P'\) 的表达式，可以得到：

\((ax+by)-\dfrac{2(Ax+By+C)}{A^2+B^2}(aA+bB)+c=0\)

可以做一下整理，得到：

\((ax+by+c)-\dfrac{2(aA+bB)}{A^2+B^2}(Ax+By+C)=0\)

已知两直线求对称轴 （角平分线，两条）

假如要求 \(a_1x+b_1y+c_1\) 和 \(a_2x+b_2y+c_2\) 的对称轴

观察上面，直线关于直线对称的式子：假设求出来的是 \(a'x+b'y+c'\)

那么 \((a',b')=(a,b)-\dfrac{2(a,b)\cdot (A,B)}{|(A,B)|^2}(A,B)\)

它其实是 \((a,b)\) 关于 \((A,B)\) 的对称向量，的相反向量

因此：\((a',b')\) 和 \((a,b)\) 的模长相同

所以：我们调整系数 \(k\)，使得 \((a_1,b_1)\) 和 \(k(a_2,b_2)\) 模长相等

\(k\) 可以取 \(\pm \dfrac{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)

那么：\((a_1x+b_1y+c_1)-k(a_2x+b_2y+c_2)\) 就是 \(Ax+By+C\) 的若干倍

发现，“若干倍” 对于直线方程没有影响

那就是说：这样直接减出来，得到的就是角平分线！

因此角平分线的方程（两条）就是：

\((a_1x+b_1y+c_1)\pm \dfrac{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}(a_2x+b_2y+c_2)=0\)