杂文：关于积分中的切比雪夫不等式，用期望来证明

概括: 我想出了一种用概率论中的期望证明该不等式的思路

定义

首先我们明确我说的是哪个 “切比雪夫不等式”

这个其实应该叫 “切比雪夫总和不等式” （见 wikipedia），对于积分的情形，它指的是：

若 \(f(x), g(x)\) 在 \((a,b)\) 上单调性一致, 并且 \(p(x)\) 在 \((a,b)\) 上恒大于 \(0\), 则:

\[\int_{a}^{b}p(x)f(x)dx\cdot \int_{a}^{b}p(x)g(x)dx \le \int_{a}^{b} p(x)dx \cdot \int_{a}^{b} p(x)f(x)g(x)dx \]

反之, 如果 \(f,g\) 单调性相反, 不等号方向取反. 这很自然, 把 \(g\) 负一下, 易得

我们不严格区分取不取等.

基于期望的证明

假设 \(\displaystyle P=\int_{a}^{b} p(x)dx\), 那么 \(\dfrac{p(x)}{P}\) 在 \((a,b)\) 上的积分为 \(1\), 它就是一个概率密度函数. 称其为 \(p'(x)\)

两边约掉 \(P^2\), 把 \(p\) 都变成 \(p'\). 左边的两个积分就是 \(E(f(x))\) 和 \(E(g(x))\), 右边则变成 \(E(f(x)\cdot g(x))\)

变为证明: \(E(fg)\ge E(f)E(g)\)

感性理解: 联想到协方差 \(cov(f,g)=E(fg)-E(f)E(g)\), 并且 \(f,g\) 的单调性一致, 具有正相关的趋势, 协方差当然应该 \(\ge 0\).

严格论证: 假设随机变量 \(X_1,X_2\) 独立同分布, 都以概率密度 \(p'(x)\) 分布在 \((a,b)\) 上. 考虑 \(E((f(X_1)-f(X_2))(g(X_1)-g(X_2)))\), 由于单调性一致, 这个 \((f-f)\cdot (g-g)\) 一定大于 \(0\), 期望也自然大于 \(0\)

把它拆开, \(=f(X_1)g(X_1)-f(X_1)g(X_2)-f(X_2)g(X_1)+f(X_2)g(X_2)\) 的期望.

由于 \(X_1,X_2\) 的独立同分布性, 这个期望就等于 \(E(fg)-E(f)E(g)-E(f)E(g)+E(fg)=2(E(fg)-E(f)E(g))\)

我们刚才说明了它大于 \(0\). 因此就有: \(E(fg)>E(f)E(g)\) \(\blacksquare\)

我在干什么

首先我们用这个事情顺便说明了, 假如 \(X,Y\) 并不是严格线性但是有明显的正(负)相关, 那么协方差 \(cov(X,Y)\) 也为正(负)的.

其次我发现, 可以用概率论中的 "观点" 来方便的看到某些积分的情况. 一方面增加一个理解的角度, 一方面, 假如有一天我忘记了不等号的方向, 不用回忆那个基于积分技巧的证明, 只要想这件事, 就能快速判断