分治 笔记
分治 笔记
分治是我们耳熟能详的算法，在普及组阶段就已经接触到了它。但是当时通常只是随便提一句（我当时是真没做过几个例题），而且通常还有线性的做法把它吊打，我在初学时，很少用到这个东西。
现在水平稍微有了提高，对它的认识改变太多了。
分治？我会！
分治？...我不会
最naive的分治：序列切两半
手上没有现有的例题，就胡一道弱智题吧
给一个序列，求最大连续子序列。换句话说，对于所有的区间，求一个区间和最大的。
“所有的区间” 有 \(n^2\) 个，不好处理；我们考虑把它 分类 处理
对于我们手上的序列，我们啪的一下把它切两半。所有区间被分成三类，都在左边的，都在右边的，跨区的。对于分治的问题来说，通常都难在处理跨区的情况。
伏笔：这个“区”的含义很广泛，我可没说过是特指序列上的一段嗷
不过这个题很傻逼，左边一半搞一个前缀和，右边一半搞一个前缀和，两边都找最大的那个，加起来，很快啊，做完了！
...做完了？
我们更加深入的思考这个题背后的道理。对于不好处理的问题，我们把它分成小块，然后再合并。其中，分成的子问题，与“合并”这个问题，都比原问题看起来好处理。
这个题看起来很简单，但是可以进一步扩展：
-
“原问题” 是什么？在什么结构上考虑？（一定是序列？）
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怎么分小块？分几块，多大？（一定对半分？）
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怎么合并？为什么合并更好处理？合并的时候比原问题 多了哪些性质？
一种变化：切矩形
大致属于上面的①类变化，③的变化不明显：基本都是处理每个点到分割点的某个信息，然后合并
我们要处理网格上的最短路。
网格上的最短路，绕路的方法很多。但是，二者之间的 \(x\)，\(y\) 坐标若有相差，则无论怎么走，都必然会 跨过 中间的若干行，若干列。
对于 跨过，我们可以想到分治。
一种理解：分治其实是把"跨过"反过来考虑，如果你必然要跨过某个位置，那我给你来一刀，再看看谁不能走了，从而反过来知道，谁要跨过哪。然后就可以计算贡献等。
另：套路：看到网格图上询问/求和/计数，而且数据范围限在 面积 上，可以考虑分治
首先我们可以考虑，找个地方啪的切一刀，然后考虑：假设最短路一定要经过这一条，答案会是多少？
如果一定经过这条分界线，则一定是先到达它一侧边界上某个点，走到另一侧边界上某个点，再继续走。
那我们可以对于两侧边界上的点，分别处理它们到对应侧每个点的最短路。查询的时候把两段最短路拼起来就行了。而对于在两侧内部走的，递归解决即可。
我们肯定把刀切在中间，但是切在行还是列上呢？直观上感觉，把长的切短了比较优。理论一点，设当前矩阵 \(n\) 行 \(m\) 列，\(T(n,m)\) 表示其复杂度。
若横着切，处理最短路的复杂度是 \(O(m\times nm)\)，分治的复杂度是 \(2T(n/2,m)\)
若竖着切，处理最短路的复杂度是 \(O(n\times nm)\)，分治的复杂度是 \(2T(n,m/2)\)
我们发现这个面积每次减少一半。而两种方法，我们肯定取复杂度小的那个切。
设面积为 \(S\)，复杂度为 \(T(S)=2T(S/2)+S\times min(n,m)\)
仔细一想，这个 \(min(n,m)\le \sqrt{S}\)！于是我们这一部分的复杂度就对了，是 \(O(S\sqrt{S}\log S)\)
那我们的 \(q\) 呢？我们在分治的时候搞个小 trick，就是把询问也分个组，分成仅在左边和仅在右边的。每次把询问的那个数组重排一下然后记个 \(l,r\) 就行。
这样，我们考虑一个询问，它会在某次分治到边界的时候被完全的处理好。从“分治开始“到”分治到边界”，中间最多经历 \(\log\) 步。所以处理询问的总复杂度是 \(O(q\log S)\)
我们发现这两部分复杂度都非常优秀，好，过了！
还能再变？
例题2：同样是网格图，边权都变成 \(1\)，但是多了障碍。障碍数最多 \(20\) 个，面积 \(\le 1e5\) ，求两两非障碍点之间的最短路和。
套路：看到 “求所有(区间/路径...)的...的和/积/max/min/...”，大概率是个分治
由这个套路，考虑分治。
我们发现障碍最多才 \(20\) 个，而面积是 \(1e5\)，那应该会有一大片的空白。
考虑在两个全是空白的行之间，切开一刀。对于跨两边的点，最短路可能不唯一，我们并不能确定具体经过了哪一条。但是我们可以肯定，一定经过了其中的一条，因为绕路显然亏。
于是我们把这一堆边的贡献 合在一起算，就是一边的空白数乘另一边的空白数。
然后我们算完贡献，这些边 相当于没了。我们直接把两行空白并作一行，到最后，顶多是 \(41\times 41\) 的一个矩阵。暴力跑最短路！然后就没了
复杂度：\(O(S+k^4)\)
注：这个题尽管也被我认为是“分治”，它并不一定用递归实现
那我为啥说它是“分治”？因为我认为，它的思想方法和分治是相通的，考虑把东西分开计算，然后处理一下跨区的情况。
其实最后那个暴力跑的最短路，可以认为是不断的分分分，最后浓缩成的东西
还能再变：切树（点分治）
即，点分治与边分治。这个没人不会吧，不会吧不会吧
这个可以说是 ①② 变化都有吧。以点分治为例，相比序列上的分治，它是在树上做，每次找重心，并把子树看成小块的子问题去做下去，合并的时候采用树上的套路合并，和序列上也有很多不同。
③的变化也不多，它也可以算是，处理每个点到分割点（重心）的某种信息，然后来合并。当然，也有一些合并方法是树上独有的，比如把已经算过的子树信息放一块，和新加的子树合并。
update 2021.08.11 新增环节：关于实现
点分治的实现有两种形式，一种是，对于当前的根，我们枚举一个子树，算它和以前子树的贡献，然后把这个子树的信息合并到“以前子树”当中
另一种是，我们把所有子树并起来，两两任意组合求答案，减去子树内部两两组合的答案，就是跨过根的答案。这种在一些场合中比上一种好写很多，就是要注意处理一下每个点到根的那条路。
由于边分治的题并不多，而且多数比较毒瘤，这里主要讲点分
经典例题：对于每个 \(k\)，求树上有多少条路径长度 \(=k\)
点分治后相当于数多少条路径经过根且长度 \(=k\)。很好做，就把每个子树里的 \(dep\) 数组看成 \(GF\)，然后卷积一下就行了。我们不讲这里的细节，而是关注于这样做背后的道理。
对于树上的路径的条件计数/带权求和，（没学过点分治的）新手通常会认为它们很难下手：我咋确定一条路径啊？我不肯定得枚举俩端点么？
而点分治的妙处在于，它用根来确定路径，具有优秀的性质；而且它每次找重心，剩下每个子树最多占一半，保证了复杂度是 \(\log\) 的 —— 这样做的前提是树的父子关系不影响答案。
它的分类思想，相当于是按路径经过的点来分类。而点分治问题通常难在如何合并，而“分”的方法，多数情况下变数不多，一个板子粘一下，其它东西，稍 微，调整一下，就能做很多题。
THUSC2021考场上傻逼点分治没打出来的人是谁啊？还搁着说呢
不一样的序列分治：我不算
一般的分治，我们写 \(f(l,r)\) 表示 \([l,r]\) 的答案
这样的分治，我们写 \(f(l,r)\) 表示，不算 \([l,r]\) 的答案。
对于这样的分治，我们可以加入 \([l,mid]\) 的贡献，然后算 \(f(mid+1,r)\)；然后通过撤销操作（或者直接记录原来的状态，还原回去），加入 \([mid+1,r]\) 的贡献之后，算 \(f(l,mid)\)
这样可以做：对于每个位置，计算 去掉 单独一个位置的答案。这也是一个经典trick，很多题目都会用。
一个经典例题：给一个无向图的邻接矩阵，计算：对于每个点，把它删除之后，所有点两两的 \(d(x,y)\) 之和 。\(d(x,y)\) 定义为：若存在 \(x\) 到 \(y\) 的路径，则它等于最短路，否则它等于 \(-1\)。
这里 提交
这很好做：若要加入一段区间的贡献，就枚举两个点，像floyd一样更新最短路就行了。当我们做到分治的边界，\(f(l,l)\) 的时候，得到的就是 \(l\) 位置的答案。
复杂度：若当前区间长度为 \(m\)， \(T(m)=2T(m/2)+n^2m\)。总的复杂度为 \(T(n)=O(n^3\log n)\)
不一样的序列分治：我不对半分
很明显这个是 ② 变化，有时也有 ③ 变化
例题：CF1416C
套路：看到异或果断按位
嗯这个题跟异或有关，那么：我们按位！
考虑二进制数的比较过程：从高到低按位比，如果已经分出胜负就直接停止，否则才看下一位
那我们一位一位的看，如果两个数在这一位上已经不同了，那异或上同一个数，肯定还不同。而如果是相同的，那跟这一位就一点关系都没有了：异或上同一个数，还是一样的，比较不出来。
那我们就在这一位上看，假设我异或 \(0,1\)，会有多少逆序对，取小的那个
然后我们要对后面的位继续做：那好办！我们把这一位是 \(0\) 的都凑到一块，是 \(1\) 的都凑到一块（重排列）（这样对因为我们已经算完了贡献，随便搞都不影响了），然后对两块分治，每一位都加一下，就得到了最小的总数。
trick: 在二进制数上，有一种分治方法：按照这一位上的数是0还是1，分开处理，再考虑 0/1 之间的贡献
另：整体二分
整体二分也算是这样的“非对半分治”。我们把所有询问里的二分放到一块，\(>mid\) 的分一类，\(\le mid\) 的分一类，分治。它相当于，按照答案分治
例题略，网上一堆
总结：如果做分治，不要局限于”对半分“，要结合实际情况与性质，搞一个适合本题的分治
更神秘的分治：在答案上分
不知道是哪种变化了，因为我们甚至不切分原问题了
当然，答案区间上的分治多数时候不是独立的，是又要切原问题，又要切答案的
通常会有这样的长相：calc(l,r,L,R) 表示，处理区间 \(l,r\)，答案范围在 \(L,R\)。
有点像整体二分，但我们不一定通过取 \(\frac{L+R}{2}\) 然后检验来缩小区间
例题：CF1039D
我们注意到，随着 \(k\) 的增加，能选的肯定越来越小，所以具有单调性；
而且显然，\(ans_k\le n/k\)，由整除分块的结论，它顶多有 \(O(\sqrt{n})\) 种不同的值。
又知道，对于给定的 \(k\)，有很简单的贪心可以 \(O(n)\) 求答案：从深到浅，能合并尽量合并
然后我们考虑：calc(l,r,L,R) ，意义如上。
如果 \(L=R\)，那 \([l,r]\) 的答案都是这个数；否则我们取 \(l,r\) 中点，暴力算，通过它来确定两边的范围
一个重要问题是，我们会暴力算多少次？
上面提到，答案区间顶多有 \(O(\sqrt{n})\) 种不同的值，每次取中间的值，两边分开，相当于把它放到线段树上搞。只会有 \(\log\) 层，每层都是 \(\sqrt{n}\)，所以只会算 \(\sqrt{n}\times \log n\) 次。乘以一次的复杂度 \(O(n)\)，得到总复杂度是
\(O(n\sqrt{n}\log n)\)
总结：我们的分治，不一定只看原问题，也可以从答案的角度出发，研究答案的性质，并对其分治
线段树分治
线段树本身就是一个相当于把分治记了下来的结构。很多分治的问题可以通过线段树来放到区间上，比如求区间的最大独立集，区间最大连续子段和...它本身就和分治有着很大关系，当然也很适合分治
就好比dp的本质，很适合用来dp！
常见的如非强制在线的动态图连通性，我们可以把每个边存活的时间放在线段树上，然后利用线段树的结构查询一个类似"前缀和"的东西（其实是，“前缀边集并”）
它相当于是利用线段树的结构进行的分治过程
cdq分治
这是一种运用广泛的分治技巧，据说是cdq姐姐提出的，因此在网上被称为“cdq分治”
它的分治思想是：对于当前区间，先算其中一半，然后计算这一部分区间（值已经有了）对另一部分区间的贡献，然后再算另一半区间。
如下是一些经典题
