CT03 Contest#11 智商场 T2 unique
神秘构造体，没智商，真不会
题意
给一个 \(n\)，还有长度为 \(n\) 的序列 \(a_i,b_i\)。要求构造一个 \(n\times n\) 的矩阵，每个位置的数可以是 \([1,n^2]\) 中的任意整数，并满足，第 \(i\) 行里面不同的种类数有 \(a_i\) 个，第 \(i\) 列里面不同的种类数有 \(b_i\) 个。
\(2\le a_i,b_i\le n\le 500\)。
构造
构造的方法
首先在对角线上放一堆 \(1\)。
然后在对角线循环右移一格的位置，即 \((i,i\%n+1)\) 的位置，依次放上 \(2,3...n+1\)。这个东西也是每行、列恰好一个，设每行、列的这个数分别是 \(p_i,q_i\)
枚举位置 \((i,j)\) 。如果当前行、列都不行，放一个全新的颜色（从 \(n+2\) 开始数）；如果行（hang）行（xing）列不行，那把 \(p_i\) 放这；如果行不行，列行，放一个 \(q_j\)；如果俩都行了，放一个 \(1\)
咋想到
去问了出题人 zzq 大爷，他说他啪的一下就会了，也不太清楚咋想到，我只能自己想了
大概都能想到，先搞一个base，然后做点小修改 （修正主义）
我赛场上写了个爆搜打表，我注意到了 \(a_i=b_i=2\) 的情况，黑白染色即可。于是开始想，能不能先黑白染色，再改改。
但是这样的坏处在于：杂七杂八的几把玩意太多了，刚开始还能满足，后来越来越不能适应 \(a,b\) 的变化了
就好像某上个世纪解体的国家
对于构造题来说，我们一开始可以 放一些，不一定全放完，后面再调整
注意到 \(a_i,b_i\ge 2\) 的条件。我们一开始可以让每行、每列都恰好有两种，然后再加东西
trick：对于方阵的构造，我们可以考虑主对角线放一条，然后右边再放一条；这样可以解决很多行、列上的限制
另一个例题：CF1436B
其实有一个方法是，我们爆搜出来 \(n=3\) 的解，然后对着这些解，去思考是咋得到的，用手凑一凑；或者也可以直接凭脑子想。总之就是，我们发现我们需要做到下面几件事：
- 放一个“无用元”：我们已经搞定了 \(a,b\)，但是格子还没填满，需要一些无影响的东西来当垃圾
- 单加一行/一列：修改 \((i,j)\) 位置，会同时影响第 \(i\) 行和第 \(j\) 列，但是我们只要搞其中一条，因为另一条已经好了
- 同时加一行/一列：最sb的，直接放一个全新的颜色就行
“无用元”在一番思考过后，也很好搞：主对角线全放 \(1\)，然后接下来的所有位置放 \(1\) 都不再会有影响了，此时它就成为了一个 “无用元”
接下来是对于单行/列的修改：如果不考虑那个无用元，其实我们可以在主对角线上放 \(1,2,3...n\)。这样，比如我们要修改 \((i,j)\) 位置，但只影响第 \(i\) 行，那在这放一个 \(j\) 就行了。第 \(j\) 列本来就有一个 \(j\)，再放一个 \(j\) 就不会影响了
那这两个东西都要用主对角线，咋办？其中一个东西让一让位置，整体循环+1，右移一格，就没事了。我们这里把后面那个东西挪了一下。同时，它的值也得平移一些：从 \(1,2...n\) 变成 \(2,3...n+1\)，因为那个 \(1\) 要去当 “无用元”
总结
- \(n\times n\) 方阵中的构造方法，见上面
- 在方阵中考虑构造，尤其是行列间相互影响的，可以考虑如何单独影响其中一个
