莫比乌斯反演 学习笔记

定义函数 \(f\) 为数论函数当且仅当其有一个自变量，定义域为 \(\mathbb N_+\)，值域为 \(R\)。

定义数论函数 \(f\) 为积性函数当且仅当 \(\forall x,y\in \mathbb N_+, (x,y)=1,s.t.f(xy)=f(x)f(y)\)。

定义数论函数 \(f\) 为完全积性函数当且仅当 \(\forall x,y\in \mathbb N_+,s.t.f(xy)=f(x)f(y)\)。

常见的积性且非完全积性函数：\(\varphi,\sigma_k,d_k,\mu\)。

常见的完全积性函数：\(I, \epsilon\)。

定义两个数论函数 \(f,g\) 的卷积为：

\[(f*g)(n)=\sum_{i|n}f(i)g(\cfrac{n}{i}) \]

直接计算为 \(\mathcal O(n\log n)\)。

结论：

\[\epsilon * f = f\\ I * I = \sigma_0\\ I * d_k = \sigma_k\\ \varphi * 1 = d \]

若 \(f*g=g*f=\epsilon\) 则称 \(f,g\) 互为逆。

公式：

\[f^{-1}(n)=\cfrac{1}{f(1)}([n=1]-\sum_{i|n,i<n}f^{-1}(i)f(\cfrac{n}{i})) \]

存在逆的充要条件是 \(f(1)\ne 0\)。

若 \(f,g\) 为积性，则 \(f*g\) 也是积性。

若 \(f\) 为积性，则其逆也为积性。

定义 \(I\) 的逆为 \(\mu\)。

若 \(n\) 有大于一的平方因子则 \(\mu(n)=0\)，否则设 \(k\) 为 \(n\) 含有的质因子个数，则 \(\mu(n)=(-1)^k\)。

我们知道：

若

\[g(n)=\sum_{i|n}f(i) \]

则

\[f(n)=\sum_{i|n}\mu(\cfrac{n}{i})g(i) \]

若

\[g(n)=\sum_{n|i}f(i) \]

则

\[f(n)=\sum_{n|i}\mu(\cfrac{i}{n})g(i) \]

这就是莫比乌斯反演公式。

线性筛可以简单求解积性函数，对于 \(p_j|i\) 的情况特判算出来就可以了。