Super Fenwick 学习笔记

她是谁(What)？

超级树状数组（Super Fenwick 或 Super BIT）是一种维护线性数据，支持区间修改，区间查询的数据结构，其中要求运算符满足结合律，可逆性。（例如异或，加法，乘法或非奇异的矩阵乘法）

正如其名字，超级树状数组的本质是树状数组，因此，她也继承了树状数组的所有优点：

• 码量小
• 常数小
• 空间小

尽管她能做的线段树都能做，但上面三个条件是即使 zkw 线段树也无法比拟的。

她的是怎么实现的(How)？

为了方便，我们记维护的线性数据为 \(a\)，其下标从 \(1\) 至 \(n\)。

同时记将下标在 \([l,r]\) 内的数加上 \(v\) 的操作称作 \(update(l, r, v)\)。

询问下标在 \([l,r]\) 内的数的和的操作为 \(query(l, r)\)。

首先由于操作的可逆性，我们知道：

\[query(l, r) = query(1, r) - query(1, l - 1) \]

由于要进行区间修改操作，所以只能对 \(a\) 进行差分，得到差分数组 \(d_i=a_i-a_{i-1}\)

于是我们知道：

\[query(1, x)=\sum_{i=1}^x \sum_{j = 1}^i d_j \]

交换求和符号得到：

\[query(1, x)=\sum_{j=1}^{x} \sum_{i=j}^{x} d_j=\sum_{j=1}^{x} d_j \sum_{i=j}^{x} 1=\sum_{j=1}^x(x-j+1)d_j=(x+1)\sum_{j = 1}^xd_j-\sum_{j=1}^xjd_j \]

我们惊奇地发现她可以使用两个树状数组进行维护，一个维护 \(d_i\)，另一个维护 \(id_i\)。于是我们便可以在 \(\Theta(\log n)\) 的时间复杂度内完成一次查询。

再来看修改，我们只需要更改在对应位置的两个树状数组即可。

她的代码(Code)？

long long d1[MAXN];
long long d2[MAXN];
int lowbit(int x) {
    return x&-x;
}
void add(long long *arr, int pos, long long x){
    while (pos <= n)
        arr[pos] += x,
    	pos += lowbit(pos);
}
void update(int l, int r, long long x){
    add(d1, l, x);
    add(d1, r + 1, -x);
    add(d2, l, x * (l - 1));
    add(d2, r + 1, -x * r);
}
long long getsum(long long *arr, int pos){
    long long sum = 0;
    while (pos)
        sum += arr[pos],
    	pos -= lowbit(pos);
    return sum;
}
long long query(int x,int y){
    return y * getsum(d1, y) - (x - 1) * getsum(d1, x - 1) - (getsum(d2, y) - getsum(d2, x - 1));
}

她的例题(Practice)？

基础：洛谷-P3372

进阶：CodeForces860E Tips:需要搭配重链剖分食用，由于不是正解，有略微卡常。