CPH-第九章 区间查询

区间查询类问题，是后续高级数据结构与算法的重要基础。核心目标是在不同约束下高效处理以下问题：

• 区间求和
• 最值查询
• 单点更新
• 区间更新

9.1 静态数组查询

• 针对数组元素不修改、仅回答查询的场景，有两种针对性的高效方案。

前缀和数组（区间和查询）

• 适用场景：仅需计算区间和，无元素更新。
• 预处理：\(O(n)\) 时间构造前缀和数组，prefix[k] 表示原数组从开头到位置 k 的总和。
• 查询公式：任意区间 \([a, b]\) 的和可通过容斥在 \(O(1)\) 算出：sum(a,b) = prefix[b] - prefix[a-1]。
• 二维扩展：二维前缀和可通过容斥公式 \(S(A)-S(B)-S(C)+S(D)\) 计算任意矩形子数组的和，同样支持 \(O(1)\) 查询。

稀疏表（Sparse Table，区间最值查询）

• 适用场景：静态数组的区间最小值 / 最大值 / gcd 查询 ，不支持元素修改。
• 预处理：\(O(n \log n)\) 时间，预计算所有长度为 \(2^k\) 的区间的最值。
• 查询原理：
  • 对于任意区间 \([a, b]\)，取最大的 \(k\) 使得 \(2^k\) ≤ 区间长度。
  • 用两个长度为 \(2^k\) 的重叠区间覆盖目标区间，取两者最值即可。
  • 查询时间 \(O(1)\)。
• 特点：是静态区间最值的最优实现，常数极小，效率极高。

9.2 树状数组（Binary Indexed Tree / Fenwick Tree）

• 定位：前缀和数组的动态升级版，支持单点更新 + 前缀和查询，两项操作均为 \(O(\log n)\)。
• 核心原理：
  • 每个位置 k 对应一段区间，区间长度为 p(k) = k & -k（k 的二进制最低位 1 对应的数值）。
  • tree[k] 存储原数组中以 \(k\) 结尾、长度为 \(p(k)\) 的区间和。
• 两个核心操作：
  • 前缀和查询：将 \([1, k]\) 拆分为若干个树状数组区间，累加得到结果。
  • 单点更新：修改位置 \(k\) 的值后，同步向上更新所有包含 \(k\) 的树状数组区间。
• 优势：代码极短、运行常数远小于线段树。
• 局限性：是仅支持前缀和类操作，无法直接处理区间最值。

9.3 线段树（Segment Tree）

• 定位：通用型区间数据结构，支持几乎所有可合并的区间查询（和、最值、gcd、位运算等）与单点更新，两项操作均为 \(O(\log n)\)。
• 结构设计：
  • 本质是一棵二叉树，叶子节点对应数组单个元素，内部节点存储对应区间的聚合结果。
  • 通常将数组长度补到 \(2\) 的幂，用大小为 \(2*n\) 的数组存储整棵树。
• 核心操作
  • 区间查询：将目标区间拆分为 \(O(\log n)\) 个树节点，合并节点结果得到答案。
  • 单点更新：修改叶子节点后，自底向上更新所有父节点的值。
  • 区间更新：配合懒标记，区间加、区间赋值等操作同样可以在 \(O(\log n)\) 内完成
• 与树状数组对比
  • 树状数组：仅擅长前缀和，代码简单、常数小。
  • 线段树：通用性极强，支持所有可合并的区间操作，但内存占用更大、实现稍复杂。

9.4 附加技巧

离散化 / 索引压缩（Index Compression）

• 问题背景：当数组索引范围极大（如 \(10^9\)）但实际用到的索引数量很少时，直接开数组会造成内存溢出。
• 解法：将所有用到的索引收集排序，映射为连续的 \(1,2,3,\cdots\) 编号，保持相对顺序不变，再在压缩后的索引上建立数据结构。
• 前提：必须提前知道所有会用到的索引，属于离线优化技巧。

区间更新

• 问题背景：需要对整个区间 \([a, b]\) 统一加上一个值，同时支持查询。
• 差分思想：构造差分数组，区间加 \(x\) 等价于在 \(a\) 处 \(+x\)、\(b + 1\) 处 \(-x\)，仅需两次单点更新。
• 实现方式：用树状数组或线段树维护差分数组，即可高效支持区间更新 + 单点查询。