CPH-第八章 均摊分析

均摊分析思想：针对单次操作耗时不均、但整体操作总次数可控的算法，不纠结单次操作的最坏复杂度，而是估算全部操作的总时间开销，证明平均到每次操作的复杂度足够低。

• 很多算法单次操作看似耗时很高，但从全局看每个元素只会被处理有限次。
• 双指针、单调栈、单调队列都是这一思想的典型产物，是处理数组问题的高频高效技巧。

8.1 双指针法（Two pointers method）

核心思想

• 用两个指针遍历数组，两个指针都只向单一方向移动（不会回退），因此每个指针在整个算法过程中最多移动 \(n\) 步，总操作量为 \(O(n)\)，均摊到每一步都是常数时间。

子数组和问题

• 给定全为正整数的数组和目标和 \(x\)，判断是否存在连续子数组的和恰好等于 \(x\)。

  • 算法流程：维护左右指针表示子数组区间；左指针每向右移动一步，右指针就尽可能向右延伸，只要子数组和不超过 \(x\)。若和恰好等于 \(x\) 则找到解。
  • 复杂度分析：右指针全程只向右不向左，总移动步数不超过 \(n\)；左指针也仅移动 \(n\) 步。因此总时间复杂度为 \(O(n)\)。

2SUM 问题

• 给定数组和目标和 x，找出两个元素使其和为 x。
  • 先将数组排序，左指针指向数组开头、右指针指向数组末尾；
  • 左指针逐步右移，右指针同步左移，使两数之和向目标值靠近。
• 复杂度分析：排序耗时 \(O(n \log n)\)，双指针遍历耗时 \(O(n)\)，整体复杂度 \(O(n \log n)\)。
• 延伸：基于相同思想，3SUM 问题可以在 \(O(n^2)\) 时间内求解。

8.2 最近更小元素（Nearest smaller elements）

• 对数组中每个元素，找到它左侧第一个比它小的元素（不存在则标记为空）。

• 算法：单调栈

  • 从左到右遍历数组，维护一个元素值单调递增的栈。

  • 不断弹出栈顶所有大于等于当前元素的元素。

  • 此时栈顶元素就是当前元素的「最近更小元素」。

  • 将当前元素压入栈中。

• 均摊复杂度分析

  • 每个数组元素恰好入栈一次、最多出栈一次，整个算法过程中栈的弹出操作总次数不超过 \(n\)。

  • 因此尽管单次遍历可能弹出多个元素，但全部操作总次数为 \(O(n)\)，均摊时间复杂度为 \(O(n)\)。

8.3 滑动窗口最小值（Sliding window minimum）

• 固定大小的窗口从数组左端向右滑动，输出每个窗口位置对应的最小值。

• 算法：单调队列

  • 维护一个元素值单调递增的双端队列，队首始终是当前窗口的最小值：
  • 窗口右移加入新元素时，从队尾不断弹出所有大于等于新元素的元素，再将新元素加入队尾；
  • 检查队首元素是否已滑出窗口，若滑出则从队首移除；
  • 此时队首元素即为当前窗口的最小值。

• 均摊复杂度分析

  • 每个元素恰好入队一次、最多出队一次，所有入队、出队操作的总次数为 \(O(n)\)。
  • 因此算法整体均摊时间复杂度为 \(O(n)\)。