CPH-第七章 动态规划

动态规划是一种结合了穷举搜索的正确性与贪心算法的效率的技术。

• 动态规划适用的前提：问题可以分解为若干个相互重叠的子问题，且这些子问题能够独立求解。
• 动态规划通常用于：
  • 寻找最优解
  • 计算方案数

7.1 硬币问题（Coin Problem）

最少硬币数

• 设 \(solve(x)\) 为凑出金额 \(x\) 所需的最少硬币数。状态转移方程为：

\[solve(x) = \begin{cases} \infty & x < 0 \\ 0 & x = 0 \\ \min_{c \in \text{coins}} solve(x-c) + 1 & x > 0 \end{cases}\]

• 朴素的递归会反复计算相同的 \(solve(x)\)。

• 动态规划通过一个数组 value[x] 自底向上计算，避免了这种冗余。

• 其中 value[0] = 0，对于无法凑出的金额可设为无穷大。

方案计数

• 同一框架也可用于计数。如果 \(solve(x)\) 表示凑出金额 \(x\) 的方案总数，状态转移方程为：

\[solve(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x = 0 \\ \sum_{c \in \text{coins}} solve(x-c) & x > 0 \end{cases}\]

• 若硬币顺序不同视为不同方案，先遍历金额，再遍历硬币。

• 若硬币顺序不同不视为不同方案，则需调整遍历顺序（先遍历硬币，再遍历金额），以避免重复计数。

图论视角

• 硬币问题可以自然地表示为一个有向无环图（DAG）：
  • 每个节点代表一个金额，每条边代表使用一枚硬币。
  • 凑出金额 \(n\) 就对应于从节点 0 到节点 \(n\) 的一条路径。
  • 最少硬币数对应最短路径，
  • 方案总数对应路径计数。

7.2 最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）

给定一个数组，要求找出最长的递增子序列的长度。

• 设 \(length(i)\) 为以第 \(i\) 个元素结尾的最长递增子序列长度，状态转移为：

\[length(i) = \max_{j < i,\ a_j < a_i} length(j) + 1 \]

• 基础情况为 \(length(i) = 1\)（每个元素自身构成一个长度为 1 的子序列）。
• 其他情况为 a[i] 接在 a[j] 后面
• 最终答案是所有 \(length(i)\) 中的最大值。
• 朴素实现为 \(O(n^2)\)；结合二分查找可优化至 \(O(n \log n)\)。

7.3 网格中的路径（Paths in a Grid）

在一个 \(n \times m\) 的网格中，从左上角移动到右下角，每次只能向右或向下移动一步。

• 设 paths[i][j] 为到达格子 \((i, j)\) 的路径数。

• 由于到达 \((i, j)\) 只能来自上方或左方，因此状态转移方程为：

\[paths[i][j] = paths[i-1][j] + paths[i][j-1] \]

• 边界条件：第一行和第一列的所有格子都只有 1 条路径。

7.4 背包问题（Knapsack Problems）

背包问题是指给定一组物品（每个物品有重量和价值），要求选取一个子集，在满足某些约束（如总重量不超过容量）的前提下，最优化某个目标（如总价值最大）。

0-1 背包

• 每个物品只能选取一次。设 dp[i][j] 为在前 \(i\) 个物品中选择，背包容量为 \(j\) 时能获得的最大价值。

• 转移方程式：

\[dp[i][j] = \max(dp[i - 1][j],\ dp[i - 1][j - w_i] + v_i) \]

• 空间降维

\[dp[j] = \max(dp[j], dp[j - w_i]) \]

• 逆序遍历保证了在更新 dp[j] 时，所依赖的 dp[j - w_i] 尚未被当前物品更新过。

完全背包

• 每个物品可以选取无限次。此时只需将容量 \(j\) 的遍历改为正序，从而允许同一物品被多次加入。

7.5 编辑距离（Edit Distance）

给定两个字符串，要求用最少的操作（插入、删除、替换一个字符）将一个字符串变为另一个。

• 这是一个在两个序列上定义状态的经典 DP 问题。

• 设 dist[i][j] 为将第一个字符串的前 \(i\) 个字符转换为第二个字符串的前 \(j\) 个字符所需的最少操作数。

• 状态转移考虑末尾字符是否匹配：

  • 若匹配：dist[i][j] = dist[i-1][j-1]
  • 若不匹配：dist[i][j] = 1 + min(dist[i-1][j], dist[i][j-1], dist[i-1][j-1])（分别对应删除、插入、替换）

7.6 计数平铺（Counting Tilings）

给定一个 \(n \times m\) 的网格，要求用若干种规格的骨牌（如 \(1 \times 2\) 的多米诺骨牌）完全覆盖网格，求方案数。

• 这类问题的状态设计往往需要利用状态压缩，用整数的二进制位来表示某一列（或某一行）的占用情况，从而在逐格或逐列推进时进行转移。