CPH-第六章 贪心

贪心算法在每一步都做出当前看起来最优的局部最优选择，并因此得到全局的最优选择。

6.1 硬币问题（Coin Problem）

给定一组硬币面额和一个目标金额，要求用最少数量的硬币凑出该金额。

• 一个直观的贪心策略是：每次都选不超过剩余金额的最大面额硬币，直到凑满为止。

  • 这个策略并非普遍正确。以欧元硬币为例，贪心法恰好能给出最优解；但在一般的面额系统下，贪心可能失败。

• 核心启示：贪心策略的有效性依赖于问题结构，不能仅凭直觉认定其正确。

6.2 调度（Scheduling）

给定 \(n\) 个事件，每个事件有开始时间和结束时间，要求选出尽可能多的互不重叠事件。

• 考虑三种贪心策略，只有第三种被证明是正确的。

策略	结果	反例直觉
选最短的事件	✕	一个短事件可能“卡”在两个长事件之间，导致只能选 1 个，而最优解可以选 2 个
选开始最早的事件	✕	一个开始很早但结束很晚的事件会独占全部时间，排除了后续多个事件的可能
选结束最早的事件	✓	结束越早，留给后续事件的选择空间至少不会更小

• 正确性论证采用交换论证：如果最优解没有选择结束最早的那个事件，把它替换成结束最早的事件后，后续可选事件的数量不会减少，因此解不会变差。

6.3 任务与截止日期（Tasks and Deadlines）

给定 \(n\) 个任务，每个任务有持续时间和截止时间。完成一个任务获得 \(d - x\) 分，其中 \(d\) 是截止时间，\(x\) 是实际完成时刻。目标是最大化总分。

• 一个出人意料的结论是：最优顺序完全不依赖截止时间，只需按持续时间从短到长排序即可。

• 正确性同样来自交换论证：如果相邻两个任务中，前一个的持续时间长于后一个，交换它们会使总分严格增加。因此，在最优解中，任意相邻任务都必须满足“短任务在前”，从而整个序列按持续时间升序排列即为最优。

6.4 最小化和（Minimizing Sums）

给定 \(n\) 个数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，要求找一个值 \(x\)，使某个和式最小。

• 这一节展示了贪心思想在连续优化场景中的一种形态：最优解并不出现在端点或均值处

• \(c = 1\)，\(x\) 取在中位数

• \(c = 2\)，\(x\) 取平均值

6.5 数据压缩（Data Compression）

前缀码约束

• 任何一个码字都不能是另一个码字的前缀，否则解码时会产生歧义。满足这一约束的编码对应一棵二叉树：字符位于叶子，从根到叶的路径（左 0 右 1）就是码字。

哈夫曼算法

• 哈夫曼算法的贪心选择——每次都合并当前最轻的两个节点——可被证明能产生加权路径长度最小的二叉树，即最优前缀码。
• 算法流程：
  • 为每个字符建立一个节点，权重为其出现频率。
  • 反复取出权重最小的两个节点，合并为一个新节点，权重为两者之和。
  • 重复直到只剩一个根节点。
  • 以字符串 AABACDACA 为例：A 的频率为 5，B、C、D 各为 1、2、1。合并过程最终得到码字 A→0、C→10、B→110、D→111，压缩后为 15 bit，优于等长编码的 18 bit。