CPH-第四章 数据结构

C++ 标准库中提供了最重要、最常用的数据结构。针对具体问题选择合适的数据结构，往往比从头实现算法更能节省时间。

4.1 动态数组（Dynamic Arrays）

动态数组的大小可以在程序运行期间改变。C++ 中最常用的动态数组是 vector。

• 可以像普通数组一样通过 [] 访问元素
• 支持 push_back、pop_back、size、back 等操作
• push_back 的平均时间复杂度为 (O(1))

string 本质上也是一种动态数组，额外提供：

• 字符串拼接：+
• 取子串：substr
• 查找：find

4.2 集合结构（Set Structures）

• 集合用于维护一组元素，支持插入、查找和删除。C++ 提供了两种主要实现：

结构	底层实现	核心操作复杂度	特点
set	平衡二叉搜索树	\(O(\log n)\)	元素有序，支持范围查询
unordered_set	哈希表	平均 \(O(1)\)	元素无序，但通常更快

• set 中的元素互不相同。如果需要存储重复元素，可以使用：
  • multiset
  • unordered_multiset
• 注意: multiset 中删除一个元素时，使用st.erase(st.find(x))。

4.3 映射结构（Map Structures）

• map 用于存储键值对，可以看作一种“带下标的集合”。

  • 基于平衡二叉搜索树
  • 操作复杂度为 \(O(\log n)\)
  • 键是有序的

• map 的典型用法包括：

  • 计数
  • 建立对象之间的关联
  • 判断某个键是否存在（count）

4.4 迭代器与范围（Iterators and Ranges）

• 迭代器是“指向数据结构中元素”的变量。

  • begin() 指向第一个元素
  • end() 指向最后一个元素之后的位置
  • 二者构成一个半开半闭区间：[begin, end)

• 迭代器的意义：许多标准库算法都通过迭代器范围来操作数据，例如：

  • sort
  • reverse
  • random_shuffle

• 因此这些算法不仅适用于 vector，也适用于普通数组（传入指针即可）。

4.5 其他结构（Other Structures）

bitset

• 每个元素只占 1 bit
• 比普通数组节省约 32 倍内存
• 天然支持位运算
• 适合状态压缩或优化布尔数组

deque

• 双端队列
• 在两端插入和删除元素都是 \(O(1)\)
• vector 只擅长尾端操作
• 常数因子通常比 vector 大

stack / queue

• stack：后进先出（LIFO）
• queue：先进先出（FIFO）
• 核心操作均为 \(O(1)\)

priority_queue

• 维护一个“最值”集合
• 插入和删除最值：\(O(\log n)\)
• 取最值：\(O(1)\)
• 默认是大根堆
• 可以通过 greater 改为小根堆，priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;
• 与有序集合相比，常数因子更小

5. Policy-based data structures（GNU 扩展）

• 类型：typedef tree<int, null_type, less<int>, rb_tree_tag, tree_order_statistics_node_update> indexed_set;

• indexed_set 在 set 的基础上增加了按排名访问元素的能力：

  • find_by_order
  • order_of_key

• 复杂度仍为 \(O(\log n)\)。

4.6 与排序的比较（Comparison to Sorting）

问题：计算两个列表中公共元素的个数。

• 三种算法的思路与复杂度如下：

算法	核心操作	时间复杂度
算法 1	用 set 存储列表 A，遍历 B 查询	\(O(n \log n)\)
算法 2	用 unordered_set 替代 set	平均 \(O(n)\)
算法 3	排序两个列表，然后双指针扫描	\(O(n \log n)\)

• 尽管算法 1 和算法 3 的渐进复杂度相同（均为 \(O(n \log n)\)），但实际运行时间相差悬殊：

  • 在 \(n = 10^6\) 时，算法 1 用时 1.5 秒

  • 算法 3 仅需 0.2 秒

  • 原因在于常数因子：

    • 排序是一个非常“紧凑”的过程
    • 只需在开头做一次排序
    • 后续扫描是线性的
    • 基于平衡树的 set 在每一步操作中都伴随指针跳转和内存分配，开销更大

• 核心启示：

  • 渐进复杂度只是选型的第一层依据，常数因子和实际数据规模同样值得关注。
  • 在某些场景下，“先排序，再处理”可能比维护一个动态数据结构更高效。