CPH-第三章 排序

排序是最高效的预处理手段之一，而有序性可以支撑对数时间的二分查找与拓展应用。

3.1 排序理论

基础问题与意义

• 排序的核心目标是将任意数组按递增顺序排列。
• 大量算法以排序为前置步骤
  • 例如判断数组是否存在重复元素
  • 统计最高频元素等，
• 高效的通用排序算法时间复杂度为 \(O(n \log n)\)，多数以排序为子步骤的算法也落在这个复杂度量级。

\(O(n^2)\) 排序算法

• 代表：冒泡排序。通过 n 轮遍历，每轮扫描数组并交换相邻的逆序元素，每轮结束后当前最大元素会 “冒泡” 到数组末尾的正确位置。
• 逆序对（Inversion）：定义为满足 \(i<j\) 但 array[i] > array[j] 的元素对，是衡量数组无序程度的核心指标。完全逆序的数组共有 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 个逆序对。
• 下界结论：仅通过交换相邻元素的排序算法，时间复杂度下界为 \(O(n^2)\)。因为每次相邻交换最多消除 1 个逆序对，最坏情况需要消除 \(O(n^2)\) 个逆序对。

\(O(n \log n)\) 排序算法

• 代表：归并排序（Merge Sort），典型的分治算法。
• 核心流程：将数组从中点拆分为左右两半，递归排序两个子数组，再将两个有序子数组合并为一个完整的有序数组。
• 复杂度分析：递归共 \(O(\log n)\) 层，每层合并的总耗时为 \(O(n)\)，因此总时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。

比较排序的下界

• 结论：所有基于元素两两比较的通用排序算法，最坏情况下时间复杂度至少为 \(O(n \log n)\)。
• 证明思路：将排序过程视为一棵决策树，每次比较产生左右两个分支，最终叶子节点对应 \(n!\) 种排列结果，因此树的高度至少为 \(\log_2(n!)\)，近似等于 \(n \log n\)。

计数排序（非比较排序）

• 适用条件：数组元素均为 \(0 \sim c\) 范围内的整数，且 \(c = O(n)\)。
• 原理：构造计数数组统计每个数值的出现次数，再根据计数结果直接构造有序数组。
• 复杂度：\(O(n)\)，突破了比较排序的下界，但仅适用于数值范围有限的整数场景。

3.2 C++ 中的排序

• 竞赛中几乎不手写排序算法，直接使用标准库 sort 函数，其实现经过高度优化，效率与正确性都有保障。

基本用法

• 向量升序：sort(v.begin(), v.end())，默认按从小到大排序。
• 向量降序：sort(v.rbegin(), v.rend())。
• 普通数组：sort(a, a + n)，传入数组首尾指针。
• 字符串：sort(s.begin(), s.end())，按字典序排列字符。

排序规则与自定义

• 内置与复合类型

  • 数值、字符串等内置类型默认自带比较逻辑。
  • pair：优先按 first 排序，first 相等时按 second 排序。
  • tuple：依次按第 1、2、3…… 个元素逐级比较排序。

• 自定义结构体

  • 在结构体内部重载 operator< 定义比较规则，例如先按 x 坐标排序，x 相等时再按 y 坐标排序。

• 外部比较函数

  • 可向 sort 传入第三个参数 —— 自定义比较函数 comp，灵活定制排序规则，例如按字符串长度优先排序，长度相同时按字典序排序。

3.3 二分查找

• 二分查找是有序数组的核心价值所在，将线性查找的 \(O(n)\) 优化到对数时间 \(O(\log n)\)。

两种经典实现

• 边界收缩法
  • 维护搜索区间 \([a, b]\)，每次取中点 k：
    • 若 array[k] == x，直接命中目标；
    • 若 array[k] > x，目标在左半区，收缩右边界；
    • 否则收缩左边界。
  • 循环直到区间为空，时间复杂度 \(O(\log n)\)。
• 跳跃试探法
  • 从数组左端出发，初始跳跃长度为 (n/2)，
  • 之后每次跳跃长度减半；
  • 只要跳跃后位置的元素不超过 x 就向前跳，最终检查落点是否为目标元素。
  • 复杂度同样为 \(O(\log n)\)。

C++ 标准库二分函数

• 基于有序数组，三个对数时间的工具函数：

  • lower_bound：返回第一个大于等于 x 的元素的指针 / 迭代器。
  • upper_bound：返回第一个大于 x 的元素的指针 / 迭代器。
  • equal_range：返回上述两个指针组成的 pair。

• 典型用法：快速判断元素是否存在、统计值为 x 的元素个数。

二分的拓展应用

• 二分的本质是利用单调性缩小搜索范围，应用场景远不止元素查找。

• 寻找最小可行解

  • 给定判定函数 ok(x)，满足当 \(x < k\) 时为 false、\(x \ge k\) 时为 true，可用二分快速找到最小的合法解 k，总时间为 \(O(\log z \times 单次判定耗时)\)。

• 寻找单峰函数峰值

  • 对于先严格递增、后严格递减的单峰函数，可通过二分找到最大值点；要求函数不能有连续相等的平台段。