CPH-第二章 时间复杂度

时间复杂度可以量化算法效率，根据输入规模，在编码前预判算法是否能在时限内通过，并因此进行算法优化。

2.1 时间复杂度计算规则

• 时间复杂度用 \(O(\cdots)\) 表示，以输入规模 \(n\) 为参数，只描述效率的数量级，不关心具体常数。

循环与嵌套循环

• 算法的耗时主要来自循环，嵌套循环的层数决定了复杂度量级：\(k\) 层嵌套循环对应 \(O(n^k)\)。
  • 单层循环遍历数组：\(O(n)\)
  • 两层嵌套遍历所有元素对：\(O(n^2)\)

数量级

• 复杂度只反映增长趋势，与循环次数的常数系数、起始结束的小偏移无关。

  • 循环 \(3*n\) 次、\(n+5\) 次、步长为 2 的循环，均为 \(O(n)\)。
  • 只遍历数组上三角的双层循环\(i<j\)，仍为 \((n^2)\)。

多阶段取最大值

• 如果算法由多个连续阶段组成，总时间复杂度等于最慢阶段的复杂度，即瓶颈由耗时最长的部分决定。

  • 例如三个阶段复杂度分别为 \(O(n)\)、\(O(n^2)\)、\(O(n)\)，总复杂度为 \(O(n^2)\)。

多变量复杂度

• 如果算法效率依赖多个输入规模，复杂度公式会包含多个变量。

  • 例如遍历 \(n \times m\) 的二维数组，复杂度为 \(O(n*m)\)。

递归的复杂度

• 递归函数的时间复杂度 = 递归调用总次数 × 单次调用的复杂度。

  • 单递归（每次调用自身 1 次）：例如 \(f(n)\) 调用 \(f(n-1)\)，共调用 \(n\) 次，总复杂度 \(O(n)\)。
  • 双递归（每次调用自身 2 次）：例如 \(g(n)\) 调用两次 \(g(n-1)\)，调用总次数为 \(2^n-1\)，总复杂度 \(O(2^n)\)。

2.2 常见复杂度等级

• 按效率从高到低排列，可分为多项式与非多项式两大类：

复杂度	特点与典型场景
\(O(1)\)	常数时间，不依赖输入规模，通常为直接公式计算
\(O(\log n)\)	对数级，每步将输入规模减半，如二分查找
\(O(\sqrt{n})\)	平方根级，慢于对数、快于线性
\(O(n)\)	线性级，遍历输入常数次，通常是问题的理论最优
\(O(n \log n)\)	常出现在排序算法，或使用单次操作 \(O(\log n)\) 的数据结构
\(O(n^2)\)	平方级，两层嵌套循环，遍历所有元素对
\(O(n^3)\)	立方级，三层嵌套循环，遍历所有元素三元组
\(O(2^n)\)	指数级，遍历所有子集，非多项式
\(O(n!)\)	阶乘级，遍历所有排列，非多项式

2.3 效率估算方法

基本估算依据

• 现代计算机每秒可执行数亿次操作，结合题目时间限制（通常 1 秒），可以通过输入规模反推所需的算法复杂度。

1 秒时限下的输入规模对应表

最大输入规模	对应可通过的复杂度
\(n \le 10\)	\(O(n!)\)
\(n \le 20\)	\(O(2^n)\)
\(n \le 500\)	\(O(n^3)\)
\(n \le 5000\)	\(O(n^2)\)
\(n \le 10^6\)	\(O(n)\) 或 \(O(n \log n)\)
n 极大	\(O(1)\) 或 \(O(\log n)\)

注意事项

• 时间复杂度仅为估算，它隐藏了常数因子，实际运行时间会受实现细节影响，但足以快速排除不可行的算法思路。