CPH-第一章 算法简介

竞赛编程 = 算法设计 + 算法实现

• 算法设计：问题分析、数学思维，目标是正确且高效；解法通常是经典套路 + 创造性思路。
• 算法实现：代码能力，思路对不等于代码能过；竞赛代码追求简短、快速写完，不需要长期维护，风格简洁直接。

1.1 Programming languages

• 主流竞赛语言：C++ 是竞赛首选（高效、标准库数据结构与算法丰富、几乎所有比赛支持），其次是 Python、Java。
• 竞赛标准模板：
  • 用 #include <bits/stdc++.h> 万能头（GCC 扩展）一次性引入全部标准库，省去逐个包含头文件。
  • using namespace std; 简化标准库调用。
• 编译命令：g++ -std=c++11 -O2 -Wall test.cpp -o test，其中 -O2 开启代码优化，-Wall 输出警告信息。

1.2 Input and output

• 基础读写：cin / cout 处理标准输入输出，数字与字符串读入会自动忽略空格、换行符；也可使用 C 风格 scanf / printf，速度略快但写法更繁琐。
• IO 性能优化：
  • 开头加入 ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); 解除 C 标准流同步、解绑 cin 与 cout，大幅提升速度。
  • 优先使用 '\n' 换行，禁止频繁用 endl（每次 endl 都会强制刷新缓冲区，严重拖慢速度）。
• 常用输入模式：
  • 未知数据量：while (cin >> x) 循环读取直到输入结束。
  • 读取整行：getline(cin, s)，注意与 cin 混用时会残留换行符的坑。
• 文件输入输出：用 freopen 做文件重定向读写。

1.3 Working with numbers

整数类型

• int：32 位，范围约 \(-2^{31} \sim 2^{31}-1\)，是高频溢出点。
• long long：64 位，范围约 \(-2^{63} \sim 2^{63}-1\)，竞赛整数运算首选。
• __int128：128 位超大整数，但无法直接用 cin/cout 输入输出，部分竞赛环境不支持。
• 经典陷阱：两个 int 相乘即使赋值给 long long，也会先在 int 范围内运算溢出，需提前强转其中一个数为 long long。

模运算

• 核心性质：加减乘运算均可先取模再运算，结果不变；常用于答案很大、要求对 \(10^9+7\) 等数取模的场景。
• 负数处理：C++ 中负数取模结果可能为负，需手动判断后加 m 保证余数在 \(0 \sim m-1\) 范围内。

浮点数

• 常用类型为 double（64 位），更高精度可用 long double。
• 精度陷阱：二进制表示浮点数通常存在舍入误差，绝对禁止用 == 直接比较两个浮点数，应通过差值是否小于极小值 eps（通常取 \(10^{-9}\)）判断相等。
• double 可精确表示绝对值不超过 \(2^{53}\) 的所有整数。

1.4 Shortening code

核心目的：减少重复书写、提升编码速度，竞赛代码追求简洁高效，不强调长期可维护性。

typedef 类型别名

给长类型定义短名称，安全无副作用，例如：

typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
typedef pair<int,int> pi;

宏定义 #define

预处理阶段纯文本替换，分为两类：

1. 无参宏：简化成员与函数名，例如 #define F first、#define S second、#define PB push_back、#define MP make_pair。
2. 带参宏：简化循环等重复结构，例如 #define REP(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)。

宏的重大隐患

宏仅做文本替换，没有语法语义检查，极易因运算符优先级产生隐蔽 bug。例如 #define SQ(a) a * a 中 SQ(3 + 3) 会展开为 3 + 3 * 3 + 3，结果错误；正确写法必须加括号：#define SQ(a) (a) * (a)。

1.5 Mathematics

竞赛必备的基础数学概念与公式，是后续算法分析与解题的工具。

• 求和公式：自然数和、平方和、等差数列、等比数列、调和级数的上界估计。
• 集合论：交、并、补、差运算；子集数量为 \(2^{|S|}\)；常用数集符号（自然数、整数、有理数、实数）。
• 逻辑基础：与、或、非、蕴含、等价的真值表；全称量词与存在量词；谓词的定义。
• 常用函数：向下取整 floor(x)、向上取整 ceil(x)；阶乘、斐波那契数列的递推定义与比内闭式公式。
• 对数：基本运算性质；在算法复杂度分析中的意义（二分、分治的步数估计）；整数的进制位数计算公式。

1.6 Contests and resources

• 顶级赛事：
  • IOI（国际信息学奥林匹克）：中学生个人赛，各国选拔组队，分两天共 10 小时。
  • ICPC（国际大学生程序设计竞赛）：大学生三人组队赛，共用一台电脑，分区域赛与全球总决赛。
• 在线平台：Codeforces、AtCoder 等周更赛事；Google Code Jam、Facebook Hacker Cup 等企业赛事。
• 推荐书籍：
  • 竞赛向《Programming Challenges》《Competitive Programming 3》《Looking for a Challenge?》，
  • 通用算法向《Introduction to Algorithm》《 Algorithm Design》《The Algorithm Design Manual》等。