[总结] 欧拉函数

一些概念

• 欧拉函数（Euler's totient function），即 \(\varphi(n)\) ，表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。

• 欧拉函数是积性函数，即对于满足 \(gcd(a,b)==1\)， \(f[a* b ]=f[a]* f [b]\)。特别地，当 \(n\) 是奇数时, \(f[2*n]=f[2]*f[n]\)

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一些定理

• \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)

• 除了 2 以外所有的 \(\varphi(n)\) 都是偶数

• \(\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}\)

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暴力求得欧拉函数值

原理：一边分解一边按照下面的原理求解

int make_phi(int x){
	int phi=x;
	int t=(int)sqrt(x+0.5);
	for(int i=2;i<=t;i++){
		if(x%i==0){
			phi=phi-phi/i;
			while(x%i==0){
				x/=i;
			}
		}
	}
	if(x>1){
		phi=phi-phi/x;
	}
	return phi;
}

筛法构建欧拉函数表

原理：

• \(\varphi(n)=n*\Pi_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\)

inline void make_phi(int n){
    for(re int i=2;i<=n;i++)if(!phi[i])
        for(re int j=i;j<=n;j+=i){
            if(phi[j]==0)phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
}

应用

• 求 \(n\) 以内的与 \(n\) 互素的所有数的和

解法：\(ans=\varphi(n) * n/2\)