向量运算在高中数学中的应用

向量的运算及性质

前置知识（也许）：线性代数基础知识 - LewisLi

除非特殊说明，否则以下向量均默认指三维向量。

线性运算

包括加法与数乘。

点积（内积）——垂直与正交

模

设向量 \(\vec{a}=(x,y,z)\)，定义其模（2-范数）为 \(|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)，几何意义为向量所对应的有向线段的长度。

模是度量向量大小的方法，它满足：

1. 正定性：\(|\vec a| > 0, |\vec 0|=0\)。
2. 正齐次性：\(|\lambda\vec a| = \lambda|\vec a|\)。
3. 三角不等式：\(|\vec a + \vec b| \leq |\vec a| + |\vec b|\)。

若数域 \(F\) 上的线性空间 \(V\) 存在满足上述三条性质的映射 \(||\cdot||:V\to F\)，则称 \(V\) 为一个赋范空间。这里不深入讨论。

利用模，我们可以定义向量的单位化：\(\hat a=\frac{\vec a}{|\vec a|},|\hat a|=1\)。

内积

两个向量张成一个平面，它们必然存在一个夹角。

定义两个向量的内积 \(\vec a \cdot \vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，并定义两个向量的夹角 \(\cos<\vec a, \vec b> =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| |\vec b|}\)。

容易验证这与我们熟知的夹角定义一致。

当 \(\vec a \cdot \vec b=0\)​​ 时，称这两个向量正交。

由定义不难推出内积是满足分配律的。

叉积（外积）——描述张成

设有不共线向量 \(\vec a,\vec b\) 和 \(\vec v\) 满足 \(\vec v = \lambda \vec a + \mu \vec b\)，即线性相关，那么，必然存在一个非令向量 \(\vec n\)，使得

\[\begin{cases} \vec a \cdot \vec n = 0 \\ \vec b \cdot \vec n = 0 \end{cases} \]

从而 \(\vec v \cdot \vec n = \lambda \vec a\cdot\vec n + \mu\vec b\cdot\vec n = 0+0=0\)。

于是我们就用一个向量 \(\vec n\) 表示了 \(\vec a, \vec b\)​ 的张成。

现在我们来解上面的方程，把系数写开：

\[\begin{cases} n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3=0 \\ n_1b_1+n_2b_2+n_3a_3=0 \end{cases} \]

由定义 \(n_i\) 不同时为零，不妨假设 \(n_3 \neq 0\)，同时除以 \(n_3\)​，于是方程组转化为

\[\begin{cases} \frac{n_1}{n_3}a_1+\frac{n_2}{n_3}a_2=-a_3 \\ \frac{n_1}{n_3}b_1+\frac{n_2}{n_3}b_2=-b_3 \end{cases} \]

由 Cramer 法则得到

\[\frac{n_1}{n_3}=\frac{\begin{vmatrix}-a_3&a_2\\-b_3&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}},\frac{n_2}{n_3}=\frac{\begin{vmatrix}a_1&-a_3\\-b_1&-b_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}} \]

于是 \(\vec n\) 的一个特解为

\[\vec n =\begin{pmatrix} \begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\end{pmatrix} \]

将这个解作为 \(\vec a\) 与 \(\vec b\) 的叉积（外积），记为 \(\vec a \times \vec b\)​。约定当 \(\vec a = \lambda \vec b\) 时 \(\vec n=\vec 0\)。

由行列式的性质也不难证明叉积满足分配律。

叉积的几何意义

\(\vec n = \vec a\times \vec b\) 同时与 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 正交，因此 \(\vec n\)​ 代表两向量所张成的平面的法向量。

可以证明，\(\vec a \times \vec b\) 的模 \(|\vec n|\) 表示 \(\vec a, \vec b\) 围成的平行四边形的面积。

叉积的性质

1. 反交换律：\(\vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a\)。
2. 分配律：\(\vec a \times(\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c\)。
3. 线性性：\(\lambda\vec a\times\vec b=\vec a\times\lambda\vec b=\lambda(\vec a\times\vec b)\)。
4. 雅可比恒等式：\(\vec a\times(\vec b\times\vec c)+\vec b\times(\vec c\times\vec a)+\vec c\times(\vec a\times\vec b)=0\)。
5. 叉积不满足结合律。
6. 混合积：\(\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=|\vec a,\vec b,\vec c|\)​。
7. 拉格朗日公式：\((\vec a\times\vec b)\times\vec c=(\vec c\cdot\vec a)\vec b-(\vec c\cdot\vec b)\vec a,\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec c\)。

齐次坐标

无穷远元素的引入与射影平面

传统欧式平面下，任意两点确定一条直线，任意两线却不一定有一个交点。

我们引入无穷远这一理想概念：任意一组平行的直线系中的直线均交于同一个无穷远点，所有方向上的无穷远点在一条无穷远直线上。

这样一来，平面上就不再有平行这一概念。所有直线都将是封闭的，也不存在左右的概念。

受到平面直角坐标系的启发，我们尝试用坐标来抽象地定义平面，但是二维坐标已经无法表示这个新平面的所有元素，即使我们约定 \((\infty,\infty)\) 表示无穷远点。

因此我们引入一个新的维度：令 \((x,y,z)\) 表示原来的 \((\frac{x}{z},\frac{y}{z})\)，并约定当 \(z=0\) 时表示原来 \((x,y)\) 方向上的无穷远点。

这样一来，所有的 \(A(\rho x,\rho y,\rho z)(\rho \in \R,\rho\neq0)\) 均表示同一元素，记为一个等价类 \(A\)。取 \(A\) 的一个代表记为 \(A^*\)。把所有等价类的集合称为一个射影平面，上述坐标称为绝对坐标。\((0,0,0)\) 不表示任何元素，把它排除在平面外。

用新的坐标替换平面直角坐标系的直线：\(\alpha\frac{x}{z}+\beta\frac{y}{z}+\gamma=0\) 得到射影平面上的直线方程 \(\alpha x+\beta y+\gamma z=0\)。如果把点看作向量，则直线表示为 \((\alpha, \beta, \gamma)\cdot(x,y,z)=0\)。我们不妨用三元组 \([\alpha,\beta,\gamma]\) 来表示直线，方法与上面同理，当 \(\alpha=\beta=0,\gamma\neq 0\)​ 时表示无穷远线。

有意思的是，点与直线的形式在这个定义下完全一致，因此点与线之间是可以互换的，在一个命题中把点换成线，线换成点，不改变正确性。这被称作对偶原理。

齐次坐标下坐标系的选取与运算的几何意义

考察一条直线 \(l\) 与其上两点 \(A\cdot l=0,B\cdot l=0\)，则有 \(l\cdot(\lambda A+\mu B)=\lambda A\cdot l+\mu B\cdot l=0\)，从而点 \(\lambda A+\mu B\) 也在直线上。

同理，\(\lambda \xi +\mu\zeta\) 也一定过 \(\xi \cap \zeta\)​。

因此，

在射影平面上取不共线三点 \(A,B,C\)，由定义它们线性无关，从而平面上任意一点 \(D\) 可以用不全为零的实数 \(\lambda,\mu,\sigma\) 表示为 \(\lambda A+\mu B+\sigma C\)，称三元组 \((\lambda,\mu,\sigma)\) 为点 \(D\) 的相对坐标。

一旦 \(ABC\)​ 确定，每个点的相对坐标便确定了。但是无论坐标系如何选取，平面的定义始终与相对坐标无关，而平面上元素的关系（射影不变量）也不会随着坐标系的变化而变化。

从三维空间上看，所谓“射影平面”实质上是用一个面在空间中去截从原点发出的线束。而无穷远元素，其实是这个平面的灭点与灭线

用向量描述几何关系

给定平面两点 \(A,B\)，他们确定一条直线 \(l\)，现在要根据点求出直线的坐标。

列方程 \(A\cdot l=0,B\cdot l=0\)，显然 \(l=A\times B\)。

同理两直线交点 \(P=\xi\times\zeta\)。

让我们把目光暂时放回平面直角坐标系，假设有两点 \((x_1,y_1)(x_2,y_2)\)，在不涉及斜率的情况下，我们可以直接写出连线方程：\(\begin{vmatrix}y_1&1\\y_2&1\end{vmatrix}x+\begin{vmatrix}1&x_1\\1&x_2\end{vmatrix}y+\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix}=0\)

让我们继续考虑直线 \(AB\) 上的另一点 \(C \cdot(A\times B)=0\)，由叉积性质得 \(|C,A,B|=0\)，即行列式为零。

同理 \(\xi,\zeta,\eta\) 共点当且仅当 \(|\xi,\zeta,\eta|=0\)。

例题：2025 武汉二调 T19

设 \(P(x_1,y_1)\)，\(M(x_2,y_2)\)，易知 \(PM\) 过 \((-1,-4)\)。

\(\vec P=(x_1,y_1,1)\)，\(\vec M=(x_2,y_2,1)\)，\(l_{PM}=\vec P \times \vec M=[y_1-y_2,x_2-x_1,x_1y_2-x_2y_1]\)。

\(l_{PM} \times \overrightarrow{(-1,-4,1)}=0\)，即

\[-(y_1-y_2)-4(x_2-x_1)+x_1y_2-x_2y_1=0 \]

易知 \(Q(-1,-\dfrac{4(x_1+1)}{y_1})\)，\(N(-1,-\dfrac{4(x_2+1)}{y_2})\)。

\(\vec Q=(y_1,4(x_1+1),-y_1)\)，\(\vec N=(y_2,4(x_2+1),-y_2)\)。

于是同理有

\[\begin{align} l_{QM}=[4(x_1+1)-y_1y_2,-y_1x_2-y_1,y_1y_2-4(x_1+1)x_2] \\ l_{PN}=[4(x_2+1)-y_1y_2,-y_2x_1-y_2,y_1y_2-4(x_2+1)x_1] \end{align} \]

\((7)-(8)\) 得

\[l_{QM}-l_{PN}=[4(x_1-x_2),(x_1y_2-x_2y_1)-(y_1-y_2),4(x_1-x_2)] \]

将 \((6)\) 与 \((9)\) 对比发现 \(l_{QM}-l_{PN}=[1,-1,1]\)，即定直线是 \(y=x+1\)。

二次曲线

配极变换

称一个射影平面上的点到线，线到点的变换为一个对射变换。

可以证明对射变换具有射影不变性。

对于一个对射变换 \(\gamma\)，若满足 \(\gamma^2=I\)，则称这是一个配极变换。

二维射影平面上的配极可以写成三维对称矩阵 \(M\)，证明略。

于是有 \(\gamma^T=\gamma^{-1}\)。

极点与极线

记点 \(A\) 变换后的直线为 \(\xi=\gamma A\)，称 \((A,\xi)\) 为一组极点极线。

显然，若 \(A\) 的极线过点 \(B\)，那么 \(B\) 的极线过点 \(A\)，这被称为 配极原则。满足配极原则的两点配极共轭。

若 \(A \cdot \gamma A=0\)，称其为自共轭点或自共轭直线。

由配极导出的二次曲线

射影平面上所有的自共轭点（直线）所组成（包络）的图形被称作一个二次曲线。

简单推导一下：

\[Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0 \Leftrightarrow (x,y,z)\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0 \]

判断位置关系

配极曲线