BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设：斜率优化dp

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1096

题意：

　　有n个工厂，从左往右排成一排，分别编号1到n。

　　每个工厂里有p[i]件产品，到1号工厂的距离为x[i]，在此处建一个仓库的花费为c[i]。

　　现在你需要建造一些仓库，使得所有产品都被运送到仓库中来。

　　产品只能从左往右运输。每一件产品运输一个单位距离的花费为1。

　　问你最小总花费（运输费 + 建仓库花费）。

 

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i]表示在工厂i建了一个仓库，并且仓库1 to i中的产品都已经被运到仓库中了，此时的最小总花费。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n]

　　　　因为无论如何都必须在工厂n处建一个仓库。

　　如何转移：

　　　　dp[i] = min dp[j] + ∑(p[k]*(x[i]-x[k])) + c[i]

　　　　(j < i, k = j+1 to i)

　　　　定义前缀和数组：sp[i] = ∑ p[j], s[i] = ∑(x[j]*p[j])

　　　　(j = 1 to i)

　　　　则原转移方程可化简为：

　　　　　　dp[i] = min dp[j] + x[i]*(sp[i]-sp[j]) - s[i] + s[j] + c[i]

　　边界条件：

　　　　dp[0] = 0

　　斜率优化：

　　　　设j < k，且k的决策更优。

　　　　则有：dp[j] + x[i]*(sp[i]-sp[j]) + s[j]> dp[k] + x[i]*(sp[i]-sp[k]) + s[k]

　　　　整理得：(dp[j]+s[j]-dp[k]-s[k]) / (sp[j]-sp[k]) < x[i]

　　　　（注意：因为sp[j]-sp[k]<0，所以除过来之后不等式要变号）

　　　　所以slope(i,j) = (dp[i]+s[i]-dp[j]-s[j]) / (sp[i]-sp[j])

　　　　由于x[i]递增，所以用单调队列维护下凸壳即可。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1000005
#define INF 1000000000

using namespace std;

int n;
int q[MAX_N];
long long x[MAX_N];
long long p[MAX_N];
long long c[MAX_N];
long long s[MAX_N];
long long dp[MAX_N];

void read()
{
    cin>>n;
    memset(s,0,sizeof(s));
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x[i]>>p[i]>>c[i];
        s[i]=s[i-1]+x[i]*p[i];
        p[i]+=p[i-1];
    }
}

inline double slope(int i,int j)
{
    return (double)(dp[i]+s[i]-dp[j]-s[j])/(p[i]-p[j]);
}

void work()
{
    int l=1,r=1;
    q[1]=0,dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<=x[i]) l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+x[i]*(p[i]-p[q[l]])-s[i]+s[q[l]]+c[i];
        while(l<r && slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

int main()
{
    read();
    work();
}