Codeforces 148D Bag of mice：概率dp 记忆化搜索
题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/148/D
题意：
一个袋子中有w只白老鼠，b只黑老鼠。
公主和龙轮流从袋子里随机抓一只老鼠出来，不放回，公主先拿。
公主每次抓一只出来。龙每次在抓一只出来之后，会随机有一只老鼠跳出来（被龙吓的了。。。）。
先抓到白老鼠的人赢。若两人最后都没有抓到白老鼠，则龙赢。
问你公主赢的概率。
题解：
表示状态：
dp[i][j] = probability to win（当前公主先手，公主赢的概率）
i：剩i只白老鼠
j：剩j只黑老鼠
找出答案：
ans = dp[w][b]
边界条件：
if i==0 dp[i][j] = 0 （没有白老鼠了，不可能赢）
else if j==0 dp[i][j] = 1 （有且只有白老鼠，一定赢）
else if j==1 dp[i][j] = i/(i+1) （如果公主拿了黑老鼠，那么龙一定会拿到白老鼠，公主输。所以公主一下就要拿到白老鼠）
如何转移：
对于dp[i][j]，有两种赢的方法：
（1）公主在这个回合一次就抓到了白老鼠。
（2）公主和龙都各抓了一只黑老鼠，然后公主在下一个回合赢了。
P（一次就抓到了白老鼠） = i/(i+j)
P（进入下个回合，即两人都抓到黑老鼠） = P（公主抓到黑老鼠） * P（龙抓到黑老鼠） = j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1)
所以dp[i][j] = P（一次就抓到了白老鼠） + P（进入下个回合） * P（在下个回合赢）
那么考虑下个回合可能的状态。
因为公主和龙都已经抓走了两只黑老鼠，那么下个回合取决于跳出来的老鼠，有三种可能：
（1）跳出来白老鼠
（2）跳出来黑老鼠
（3）老鼠已经抓完了，没有老鼠跳出来
对于情况（3），原状态(i,j)只可能为：(1,1) , (0,2) , (2,0)，均包含在边界条件中，所以不作考虑。
剩下两种情况的可能性：
（1）P（跳出来白老鼠） = i/(i+j-2) (i>=1 and j>=2)
（2）P（跳出来黑老鼠） = (j-2)/(i+j-2) (j>=3)
所以P（在下个回合赢） = P（跳出来白老鼠） * dp[i-1][j-2] + P（跳出来黑老鼠） * dp[i][j-3]
总方程：
nex = 0
if i>=1 and j>=2 nex += i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2]
if j>=3 nex += (j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3]
dp[i][j] = i/(i+j) + j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1) * nex
另外，这道题的题解有两个版本，一种记忆化搜索，一种for循环版，都差不多。
AC Code（记忆化搜索）:
1 // state expression: 2 // dp[i][j] = probability to win 3 // i: i white mice 4 // j: j black mice 5 // 6 // find the answer: 7 // ans = dp[w][b] 8 // 9 // transferring: 10 // if i>=1 and j>=2 nex += i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2] 11 // if j>=3 nex += (j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3] 12 // dp[i][j] = i/(i+j) + j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1) * nex 13 // 14 // boundary: 15 // if i==0 dp[i][j] = 0 16 // if j==0 dp[i][j] = 1 17 // if j==1 dp[i][j] = i/(i+1) 18 #include <iostream> 19 #include <stdio.h> 20 #include <string.h> 21 #define MAX_N 1005 22 23 using namespace std; 24 25 int w,b; 26 bool vis[MAX_N][MAX_N]; 27 double ans; 28 double dp[MAX_N][MAX_N]; 29 30 double dfs(int i,int j) 31 { 32 if(vis[i][j]) return dp[i][j]; 33 vis[i][j]=true; 34 if(i==0) return dp[i][j]=0; 35 if(j==0) return dp[i][j]=1; 36 if(j==1) return dp[i][j]=(double)i/(i+1); 37 double nex=0; 38 nex+=(double)i/(i+j-2)*dfs(i-1,j-2); 39 if(j>=3) nex+=(double)(j-2)/(i+j-2)*dfs(i,j-3); 40 return dp[i][j]=(double)i/(i+j)+(double)j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*nex; 41 } 42 43 void read() 44 { 45 cin>>w>>b; 46 } 47 48 void solve() 49 { 50 memset(vis,false,sizeof(vis)); 51 ans=dfs(w,b); 52 } 53 54 void print() 55 { 56 printf("%.9f\n",ans); 57 } 58 59 int main() 60 { 61 read(); 62 solve(); 63 print(); 64 }
AC Code（for循环）:
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <string.h> 4 #define MAX_N 1005 5 6 using namespace std; 7 8 int w,b; 9 double ans; 10 double dp[MAX_N][MAX_N]; 11 12 void read() 13 { 14 cin>>w>>b; 15 } 16 17 void solve() 18 { 19 memset(dp,0,sizeof(dp)); 20 for(int i=0;i<=w;i++) 21 { 22 for(int j=0;j<=b;j++) 23 { 24 if(i==0) 25 { 26 dp[i][j]=0; 27 continue; 28 } 29 if(j==0) 30 { 31 dp[i][j]=1; 32 continue; 33 } 34 if(j==1) 35 { 36 dp[i][j]=(double)i/(i+1); 37 continue; 38 } 39 double nex=(double)i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2]; 40 if(j>=3) nex+=(double)(j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3]; 41 dp[i][j]=(double)i/(i+j)+(double)j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*nex; 42 } 43 } 44 } 45 46 void print() 47 { 48 printf("%.9f\n",dp[w][b]); 49 } 50 51 int main() 52 { 53 read(); 54 solve(); 55 print(); 56 }
