矩阵快速幂

 矩阵快速幂模版：

快速幂的模版在这里不再赘述。由线性代数的知识可以知道，当俩个矩阵满足n*p，p*m时可以进行计算。具体如下：

因此，我们可以暴力这个过程：对于新矩阵的位置i,j来说，枚举所有的k，对(i,k)*(k,j)求和，就是该位置的值。时间复杂度是O(n^3)的

矩阵讲完了，我们再讲讲矩阵快速幂，首先，矩阵可以看做是一个状态，而矩阵的几次方可以看作是多种状态的叠加，但是每个状态叠加时的计算过程是一致的，一般上称作矩阵乘（*）如果一个一个去计算矩阵的幂，就会让时间复杂度达到O（k）,而矩阵快速幂就是通过二进制分解幂指数来将时间复杂度降到O(logk);所以总时间复杂度O(n^3*logk)

这里还有个常数优化，就是ijk的枚举顺序，可以先i后k后j可以优化掉访问内存时的一个常数。具体原因参考《计算机组成原理》

变式：广义矩阵

26南昌ICPC全国邀请赛C题

题意不再赘述。首先，我们把修建天数作为边权，而最先已经修建好的道路，边权均为0.不要忘记重边。

在做这题时我们要注意一个特殊点：n<=200.这个地方其实在给一定的提示：这不一定是一道纯图论题，可以是dfs，dp，甚至暴力模拟。因此这时我们的思路也不能再局限于如何在O(n^2)的时间复杂度内求解，即不用局限于一定要用图论相关的内容求解。附：本题思路如果是第一次做基本都看不出来。

本题的话是从邻接矩阵建图为切入点的，当我们用邻接矩阵记录下样例的第一个状态（初始化为正无穷）：

这是只走一步时的状态矩阵，当我们走第二步时，我们可以列出：

观察俩步的状态矩阵，会发现原本从i到j只需要1步，而现在需要在中间多经过一个点k，即从i到k，再从k到j。因此第二个矩阵中对应的值就为min(A1(i,k),A1(k,j)).进一步推广到更高次幂的状态，会发现：

A3可以由A1和A2推出，值可以为max(A1(i,k),A2(k,j))或max(A2(i,k),A1(k,j))；A4的矩阵可以由A3和A1推出，也可以由俩个A2推出...

以此类推，会发现，走w步实际上就是矩阵为w次幂时的状态，因此我们只需要求取w状态的矩阵即可在O(1)的复杂度下得出答案。而本题计算矩阵乘时是利用第三者点k来跳跃的，因此运算方式不再是一般的矩阵乘，而是取max，代码如下：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ull unsigned long long
const int N=205;
const int INF=1e9;
int n,m,k,q,w;
struct pi{
    int a[N][N];
    pi(){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++)a[i][j]=INF;
        }
    }
};
pi operator*(pi x,pi y){
    pi t;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=n;k++){
                t.a[i][j]=min(t.a[i][j],max(x.a[i][k],y.a[k][j]));
            }
        }
    }
    return t;
}

pi pq(pi A,int k){
    pi res=A;
    k--;
    while(k){
        if(k&1)res=res*A;
        A=A*A;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
void solve(){
    cin>>n>>m;
    pi A;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;cin>>u>>v;
        A.a[u][v]=0;
    }
    cin>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int u,v;cin>>u>>v;
        A.a[u][v]=min(A.a[u][v],i);
    }
    cin>>q>>w;
    pi ans=pq(A,w);
    int st,ed;
    for(int i=1;i<=q;i++){
        cin>>st>>ed;
        int x=ans.a[st][ed];
        if(x!=INF)cout<<x<<'\n';
        else cout<<"-1\n";
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int _=1;
    //cin>>_;
    while(_--)solve();
}