「JOI 2024 Final」礼物交换

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考虑单次询问怎么做。

不难发现这是一个二分图匹配，左部点 $i$ 可以匹配到右部点 $j$ 当且仅当 $A_i\ge B_j\and i\neq j$。

不妨设 $B$ 递增，这当然可以通过排序实现。

什么时候不存在完美匹配呢？就是存在左部点 $i$，$i$ 只能匹配到右部点 $[1,i-1]$（也就是说 $A_i<B_{i+1}$，根据定义它不能匹配到自己），而且左部点 $1,2,\dots,i-1$ 也只能匹配到 $[1,i-1]$。这是充要条件，证明留作习题。（使用 Hall 定理）

暴力实现 $O(Qn\log n)$，这样我们可以拿到一半的分数。

接下来是一些（麻烦的）数据结构技巧。

仔细研究上述限制条件。如果我们把 $[B_i,A_i]$ 看成区间，那么 $i$ 不合法当且仅当 $[B_i,A_i]$ 和任意 $[B_j,A_j](j\in[L,R])$ 都没有交。（它被孤立了）

可以算出 $f_i$ 代表最大的 $j<i$ 满足 $[B_j,A_j]\cap[B_i,A_i]\neq\varnothing$，$g_i$ 代表最小的 $j>i$ 满足 $[B_j,A_j]\cap[B_i,A_i]\neq\varnothing$。

这个用一个区间覆盖区间查的线段树就能算出来。

那么问询 $L,R$ 不合法当且仅当存在 $i\in [L,R]$ 满足 $[f_i+1,g_i-1]\supset [L,R]$，这个等价于 $L\in [f_i+1,i]\and R\in[i,g_i-1]$。

这是矩形加单点查，扫描线 + BIT 即可。

这样就做完了，时间复杂度一只 $\log$。

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