Cantor-Schröder-Bernstein 定理的证明

对于集合 \(X,Y\)，如果存在双射 \(\phi:X\to Y\)，则称 \(X\) 和 \(Y\) 等势。

容易验证这定义了集合间的等价关系。将 \(X\) 所在的等势类记作 \(|X|\)​。集合的基数可以直接定义为其所在的等势类，也可以用序数来定义，这两种定义是等价的。

若集合 \(X,Y\)​ 间存在单射 \(\phi:X\to Y\)​，则称 \(|X|\le |Y|\)​。由此我们得到下述定理的一个漂亮的表述形式：

定理 1（Cantor-Schröder-Bernstein）如果集合 \(X,Y\) 满足 \(|X|\le |Y|\and |Y|\le |X|\)，那么 \(|X|=|Y|\)。

以下证明主要参考香蕉空间。

\(f:X\to Y\) 与 \(g:Y\to X\) 是单射。令 \(h=g\circ f\)，\(X'=X-g(Y)\)，\(\mathcal{F}=\{A\subset X| X'\cup h(A)\subset A\}\)。

\(\mathcal F\) 非空，因为 \(X\in \mathcal F\)。

引理 2 如果 \(A\in \mathcal F\)​，那么 \(X'\cup h(A)\in\mathcal F\)​。

证明 只需证 \(X'\cup h(X'\cup h(A))\subset X' \cup h(A)\)。显然 \(X'\subset X' \cup h(A)\)，又 \(X'\cup h(A)\subset A\)，所以 \(h(X'\cup h(A))\subset h(A)\)。\(\square\)

令 \(A_0=\bigcap_{A\in \mathcal F}A\)。

引理 3 \(A_0\in \mathcal F\)，并且 \(X'\cup h(A_0)=A_0\)。

证明 显然 \(X'\subset A_0\)，又 \(h(A_0)=h(\bigcap_{A\in \mathcal F}A)=\bigcap_{A\in \mathcal F}h(A)\subset \bigcap_{A\in \mathcal F}A=A_0\)，所以 \(X'\cup h(A_0)\subset A_0\)，\(A_0\in \mathcal F\)。

由引理 2，\(X'\cup h(A_0)\in \mathcal F\)，因此 \(X'\cup h(A_0)\supset A_0\)。推出 \(X'\cup h(A_0)=A_0\)。\(\square\)

接下来证明定理 1。

令 \(B_0=X-A_0\)​​​，则 \(B_0=X-(X'\cup h(A_0))=g(Y)- h(A_0)\)​​​。

定义函数 \(\phi:X\to Y\)，满足

\[\phi (x)=\begin{cases}f(x)& x\in A_0\\g^{-1}(x) & \text{otherwise}\end{cases} \]

注意到 \(g\) 是单射，所以 \(g^{-1}:g(Y)\to Y\) 是良定义的双射。

为了说明 \(\phi\)​ 是双射，只需证 \(f(A_0)\cap g^{-1}(B_0)=\varnothing \and f(A_0)\cup g^{-1}(B_0)=Y\)（换句话说 \(f(A_0)\sqcup g^{-1}(B_0)=Y\)，\(\sqcup\) 表示无交并）。​

因为 \(h(A_0)\subset A_0\)，所以 \(h(A_0)\cap B_0=\varnothing\)，所以 \(f(A_0)\cap g^{-1}(B_0)=\varnothing\)（将 \(g^{-1}\) 作用于等式两边）。

类似地，因为 \(h(A_0)\cup B_0=g(Y)\)，所以 \(f(A_0)\cup g^{-1}(B_0)=Y\)。\(\square\)

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关于定理的其它证明，以及总共有多少种 “本质不同” 的证明（这涉及到元数学问题了），等时机成熟了再写。