Allen-Cahn 和 Cahn-Hilliard 方程的推导
一、变分导数的严格推导
1.1 自由能泛函的变分
考虑自由能泛函：
\[E[\phi] = \int_\Omega \left[ \frac{1}{2}|\nabla\phi|^2 + F(\phi) \right] d\mathbf{x}
\]
对\(\phi\)施加微小扰动\(\delta\phi\)，计算一阶变分：
\[\delta E = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{E[\phi + \epsilon\delta\phi] - E[\phi]}{\epsilon}
\]
展开计算：
\[\begin{aligned}
\delta E &= \int_\Omega \left[ \nabla\phi \cdot \nabla(\delta\phi) + F'(\phi)\delta\phi \right] d\mathbf{x} \\
&= \int_\Omega \left[ -\nabla^2\phi + F'(\phi) \right] \delta\phi \, d\mathbf{x} + \oint_{\partial\Omega} (\nabla\phi \cdot \mathbf{n}) \delta\phi \, dS
\end{aligned}
\]
1.2 边界条件的处理
在Neumann边界条件（\(\nabla\phi \cdot \mathbf{n} = 0\)）或Dirichlet边界条件（\(\delta\phi|_{\partial\Omega} = 0\)）下，边界积分项消失，因此：
\[\frac{\delta E}{\delta\phi} = -\nabla^2\phi + F'(\phi)
\]
二、Allen-Cahn方程的完整分析
2.1 方程推导
取\(G = I\)，梯度流方程为：
\[\frac{\partial\phi}{\partial t} = -\frac{\delta E}{\delta\phi} = \nabla^2\phi - F'(\phi)
\]
2.2 质量守恒性的严格证明
计算总质量变化率：
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\int_\Omega \phi \, d\mathbf{x} &= \int_\Omega (\nabla^2\phi - F'(\phi)) d\mathbf{x} \\
&= \underbrace{\oint_{\partial\Omega} \nabla\phi \cdot \mathbf{n} \, dS}_{=0 \text{ (Neumann BC)}} - \int_\Omega F'(\phi) d\mathbf{x}
\end{aligned}
\]
由于\(F'(\phi) = (\phi^3 - \phi)\)，积分：
\[\int_\Omega (\phi^3 - \phi) d\mathbf{x} \neq 0
\]
结论：质量不守恒。
2.3 能量耗散的详细推导
计算能量时间导数：
\[\begin{aligned}
\frac{dE}{dt} &= \int_\Omega \left[ \nabla\phi \cdot \nabla\phi_t + F'(\phi)\phi_t \right] d\mathbf{x} \\
&= \int_\Omega \left[ -\nabla^2\phi + F'(\phi) \right] \phi_t d\mathbf{x} \quad (\text{分部积分}) \\
&= -\int_\Omega \left( \frac{\delta E}{\delta\phi} \right)^2 d\mathbf{x}
\end{aligned}
\]
展开具体项：
\[\begin{aligned}
\left( \frac{\delta E}{\delta\phi} \right)^2 &= (\nabla^2\phi - F'(\phi))^2 \\
&= (\nabla^2\phi)^2 - 2\nabla^2\phi F'(\phi) + (F'(\phi))^2
\end{aligned}
\]
因此：
\[\frac{dE}{dt} = -\int_\Omega \left[ (\nabla^2\phi)^2 + (F'(\phi))^2 - 2\nabla^2\phi F'(\phi) \right] d\mathbf{x} \leq 0
\]
三、Cahn-Hilliard方程的深度分析
3.1 方程推导
取\(G = -\nabla^2\)，梯度流方程为：
\[\frac{\partial\phi}{\partial t} = \nabla^2\left( \frac{\delta E}{\delta\phi} \right) = \nabla^2(-\nabla^2\phi + F'(\phi))
\]
3.2 质量守恒的严格证明
计算质量变化率：
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\int_\Omega \phi \, d\mathbf{x} &= \int_\Omega \nabla^2(-\nabla^2\phi + F'(\phi)) d\mathbf{x} \\
&= \oint_{\partial\Omega} \nabla(-\nabla^2\phi + F'(\phi)) \cdot \mathbf{n} \, dS
\end{aligned}
\]
在以下边界条件下：
- Neumann边界：\(\nabla\phi \cdot \mathbf{n} = 0\) 且 \(\nabla(\nabla^2\phi) \cdot \mathbf{n} = 0\)
- 周期性边界：所有导数在边界上匹配
此时面积分为零，故：
\[\frac{d}{dt}\int_\Omega \phi \, d\mathbf{x} = 0
\]
3.3 能量耗散的完整推导
定义化学势\(\mu = \frac{\delta E}{\delta\phi} = -\nabla^2\phi + F'(\phi)\)，则：
\[\begin{aligned}
\frac{dE}{dt} &= \int_\Omega \mu \frac{\partial\phi}{\partial t} d\mathbf{x} \\
&= \int_\Ω \mu \nabla^2\mu \, d\mathbf{x} \\
&= -\int_\Omega |\nabla\mu|^2 d\mathbf{x} + \oint_{\partial\Omega} \mu \nabla\mu \cdot \mathbf{n} \, dS
\end{aligned}
\]
在边界条件\(\nabla\mu \cdot \mathbf{n} = 0\)下：
\[\frac{dE}{dt} = -\int_\Omega |\nabla\mu|^2 d\mathbf{x} \leq 0
\]
3.4 算子性质的严格证明
3.4.1 自伴性证明
对任意满足边界条件的函数\(u,v\)：
\[\begin{aligned}
\langle u, Gv \rangle &= \int_\Omega u(-\nabla^2 v) d\mathbf{x} \\
&= \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v d\mathbf{x} - \oint_{\partial\Omega} u \nabla v \cdot \mathbf{n} \, dS \\
&= \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v d\mathbf{x} \quad (\text{边界项消失}) \\
&= \langle Gu, v \rangle
\end{aligned}
\]
3.4.2 正半定性证明
\[\langle u, Gu \rangle = \int_\Omega |\nabla u|^2 d\mathbf{x} \geq 0
\]
四、边界条件的数学处理细节
4.1 Neumann边界条件的完整设定
对于Cahn-Hilliard方程，需要以下边界条件：
- 一阶条件：\(\nabla\phi \cdot \mathbf{n} = 0\)
- 三阶条件：\(\nabla(\nabla^2\phi) \cdot \mathbf{n} = 0\)
推导依据：
从质量守恒方程：
\[\frac{\partial\phi}{\partial t} = \nabla^2\mu
\]
要求质量通量\(\nabla\mu \cdot \mathbf{n} = 0\)，即：
\[\nabla(-\nabla^2\phi + F'(\phi)) \cdot \mathbf{n} = 0
\]
4.2 周期性边界的数学表述
在周期区域\(\Omega = [0,L]^d\)中，要求：
\[\phi(\mathbf{x} + L\mathbf{e}_i) = \phi(\mathbf{x}), \quad \forall i=1,...,d
\]
此时所有导数在边界上满足：
\[\nabla^k\phi|_{\mathbf{x}} = \nabla^k\phi|_{\mathbf{x} + L\mathbf{e}_i}, \quad \forall k \geq 0
\]
五、能量耗散的几何解释
5.1 梯度流的Hilbert空间表述
在\(L^2\)内积空间中的标准梯度流：
\[\frac{\partial\phi}{\partial t} = -\frac{\delta E}{\delta\phi}
\]
在加权内积空间中的推广：
\[\langle u, v \rangle_G = \int_\Omega u G^{-1} v d\mathbf{x}
\]
此时梯度流方程为：
\[\frac{\partial\phi}{\partial t} = -G \frac{\delta E}{\delta\phi}
\]
5.2 耗散机制的几何意义
能量下降率可表示为：
\[\frac{dE}{dt} = -\left\| \frac{\delta E}{\delta\phi} \right\|_G^2
\]
其中范数定义为：
\[\|f\|_G^2 = \langle f, Gf \rangle
\]
六、高阶导数的分布理论处理
6.1 四阶算子的正则性
Cahn-Hilliard方程中的算子\(\nabla^4\)需要分布理论中的处理：
\[\langle \nabla^4\phi, \psi \rangle = \int_\Omega \phi \nabla^4\psi d\mathbf{x} + \text{边界项}
\]
6.2 弱解的存在性
通过Galerkin方法构造近似解：
- 选择正交基\(\{e_k\}_{k=1}^\infty \subset H^2(\Omega)\)
- 投影方程到有限维空间
- 使用Aubin-Lions引理获得收敛性
七、非线性项的严格处理
7.1 双井势的凸性分析
对于\(F(\phi) = \frac{1}{4}(\phi^2 -1)^2\)：
\[F''(\phi) = 3\phi^2 -1
\]
在\(|\phi| > 1/\sqrt{3}\)时凸，在\(|\phi| < 1/\sqrt{3}\)时凹，这导致：
- 相分离现象
- 需要正则化方法处理数值不稳定性
7.2 能量泛函的下半连续性
证明\(E[\phi]\)在\(H^1(\Omega)\)中是下半连续的：
\[\liminf_{n\to\infty} E[\phi_n] \geq E[\phi] \quad \text{当} \quad \phi_n \rightharpoonup \phi \text{ 在 } H^1
\]
八、稳定性分析的补充证明
8.1 线性稳定性分析
对均匀解\(\phi(\mathbf{x},t) = \phi_0\)施加扰动\(\delta\phi e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} + \sigma t}\)，得到增长率：
\[\sigma(k) = -k^2(1 + k^2) \quad (\text{Cahn-Hilliard例})
\]
当\(k^2 < -1\)时不稳定（实际中\(k^2>0\)，说明长波失稳）
8.2 能量方法证明稳定性
构造Lyapunov函数：
\[\mathcal{L} = E[\phi] + \frac{\alpha}{2}\|\phi_t\|^2
\]
通过计算\(\frac{d\mathcal{L}}{dt} \leq 0\)证明解的渐近稳定性
九、特殊解的存在性证明
9.1 稳态解的存在性
通过求解椭圆方程：
\[\nabla^2\phi - F'(\phi) = 0 \quad (\text{Allen-Cahn例})
\]
使用山路引理（Mountain Pass Theorem）证明非平凡解存在
9.2 行波解分析
寻找形如\(\phi(x,t) = \psi(x - ct)\)的解，得到常微分方程：
\[-c\psi' = \psi'' - F'(\psi)
\]
通过相平面分析证明存在连接\(\pm1\)的异宿轨道
十、附录：关键定理引用
- Lax-Milgram定理：用于证明弱解存在唯一性
- Gårding不等式：处理非线性项的强制性
- Sobolev嵌入定理：\(H^2(\Omega) \hookrightarrow C^{0,\alpha}(\Omega)\)在二维以上成立
- Schauder估计：用于提升解的正则性
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