NOIP2024集训Day71 贪心

NOIP2024集训Day71 贪心

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A. [BalticOI2016 Day2] 交换

看到 \(x\) 和 \(\displaystyle\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor\) 我竟然没有想到树形结构，怕不是要废了

将 \(x\) 和 \(\displaystyle\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor\) 连边，交换操作即交换一对父子。我们需要贪心地将最小值换到根上。

容易发现处理完一个节点后，其两个子树变成独立的子问题。故考虑如何处理一个节点。

考虑 \(a\)，\(b\)，\(c\) 三个节点。其中 \(a\) 是 \(b\) 和 \(c\) 的父亲，显然当最小值取到 \(x_a\) 或 \(x_b\) 上时，均可以以唯一方式交换到 \(a\) 上，故方式确定。

当最小值取到 \(c\) 时，我们发现需要讨论 \(x_a\) 和 \(x_b\) 如何分配给 \(b\) 和 \(c\)。

但事实上根本不需要讨论，暴力搜索出所有状态即可。总状态数只有 \(\Theta(n\log n)\)，因为一个节点可能被分配的值只有其祖先和祖先的兄弟上的值。

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B. [CCO2015] 饥饿的狐狸

显然的，要求出最大美味值，应该先交错吃温度最大的和最小的饼干。所以我们给所有饼干按照温度排序，交替选择左右端点吃，如果喝水能够达到更大那就先喝水再吃，反正水管够。分两种情况，即左右端点谁先开始，再取个 \(\operatorname{max}\)。

要求出最小美味值，就按照温度顺序吃饼干。注意讨论一下：

1. \(T_1 \le W \le T_n\)，则答案为 \(T_n - T_1\)，因为中间项全都被约掉。
2. \(W \lt T1\)，则答案为 \(T_n - T_1 + T_1 - W\)，即 \(T_1 - W\)。
3. 若 \(W \gt T_n\)，则答案为 \(W - T_1\)。

合并一下三种情况，即可得到 \(ans_{min} = \max(0, W - T_1) + \max(T_n - W, 0)\)。

感觉不像个蓝题，有点水了

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C. [NOI2010] 超级钢琴

可以先对 \(1\sim n\) 中的每一个 \(i\) 假设它为左端点，求出区间 \([i+l-1, \min(i + r - 1, n)]\) 中的一个右端点 \(s\)，使得对于任意一个 \(j\in [i + l -1, \min(i + r - 1, n)]\)，满足 \(\displaystyle\sum_{x = i}^s a_x \ge \sum_{y = i}^j a_y\)。处理这个可以直接对每个位置的前缀和求 \(\operatorname{RMQ}\)。

然后将每个 \([i + l - 1, s]\) 的区间和放入一个堆中维护。

看一张图：

可以发现，\([i+l-1,s-1]\) 和 \([s+1,\min(i+r-1,n)]\) 两个区间中也可能含有使答案区间和前 \(k\) 大的右端点。

所以，对于一个答案，在将其统计之后，需要将它重新拆分成两部分分别放回堆中，这样才能保证没有遗漏。

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D. [AGC034C] Tests

首先最多只会有一场考试不是 \(0\) 分或 \(X\) 分，因为如果有两场考试都是 \(\gt 0\)，\(\lt X\) 的话，一定可以把其中一场考试分数分给另外一场考试一些会更优。

然后枚举一下哪个不是 \(0\) 分或 \(X\) 分的考试就行了。剩下的提前排好序，贪心选最好的几个。

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E. [ARC147E] Examination

相当于我们要钦定一个最小的集合 \(S\)，将 \(S\) 中的元素重排，使得 \(S\) 中的元素全部满足，并且 \(S\) 外的元素本来必须满足条件。原本不满足的元素必定要在 \(S\) 中，要将最少的合法的元素加入 \(S\) ，使得 \(S\) 重排后合法。

判断 \(S\) 是否有解的充要条件为，将 \(S\) 中的 \(A,B\) 从小到大排序后，\(\forall i\in S,A_i\ge B_i\)。

发现这个条件并不好用，于是我们转化一下，设 \(cnt_t=\sum_{i\in S}[B_i\le t]-[A_i\le t]\)，充要条件为 \(\forall t\in N,cnt_t\ge 0\)。

这样每次找到一个最小的 \(t\) 使得 \(cnt_t<0\)，然后从合法的元素中，为使 \(cnt_t\ge 0\)，我们要挑选一个满足 \(B_i\le t,A_i\gt t\)，显然贪心地选 \(A_i\) 最大的会比较优，如果找不到这样的元素，则无解。

时间复杂度为 \(\Theta (n\log n)\)。

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